Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Archief voor maart 2008
Op vrijdag 25 april organiseren het Korteweg-de Vries Instituut (KdVI) voor Wiskunde en het Institute for Logic, Language and Computation (ILLC) van de Universiteit van Amsterdam voor de zesde maal het jaarlijkse congres Leve de Wiskunde!. Docenten wiskunde, scholieren uit 6 vwo en andere belangstellenden zijn van harte welkom.
Hoogtepunt dit jaar is de lezing van de internationaal gerenommeerde wiskundige Nicolai Reshetikhin, die dit voorjaar aan het KdVI doorbrengt. Reshetikhin is grondlegger van de quantum-topologie. Maar er is nog allerlei leuks: Ronald Cramer toont aan dat het in principe mogelijk is om iemand van de waarheid van een stelling te overtuigen zonder het bewijs ervan prijs te geven, Dion Gijswijt doet de wiskunde achter origami uit de doeken en Henkjan Honing gaat in op de vraag hoe je de perceptie van muziek wiskundig modelleert, gevolgd door een demonstratie over dit onderwerp! Verder geeft Robbert Dijkgraaf een wiskundige inleiding op de nieuwe animatiefilm "Flatland the Movie".
Aanmelden kan via deze website. Daar is ook verdere informatie te vinden. Aan deelname zijn geen kosten verbonden. Voor het bijwonen van Leve de Wiskunde! kunnen docenten een nascholingscertificaat ontvangen. Als je dat wil is het handig om dat aan te geven bij de aanmelding.
Leve de Wiskunde! Passie voor het vak
Vrijdag 25 april 2008, 10.30-16.10 uur
Plantage Muidergracht 24, 1018 TV Amsterdam
De Abelprijs gaat dit jaar naar John Griggs Thompson en Jacques Tits. Thompson werkt aan de University of Florida en Tits aan het Collège de France.
Ze krijgen de prijs voor hun belangrijke bijdragen aan de algebra, en in het bijzonder voor het vormgeven van de moderne groepentheorie. Thompson bewees uitzonderlijk diepe stellingen die de fundering legden voor de complete klassificatie van eindige simpele groepen, en Tits creëerde een nieuwe, invloedrijke visie op groepen als meetkundige objecten. Lees vooral ook het leuke en zeer toegankelijke artikel van Marcus du Sautoy over groepentheorie!
De wiskundemeisjes gaan in beraad en in de loop van de komende week zullen we de winnaars van de grote Abelprijstoto bekendmaken.
Regelmatig fluisteren professoren ons tijdens congressen toe wie hun favoriete nog levende wiskundige is, hopend op een plekje in de eregallerij van de wiskundemeisjes. Het kan nog leuker: Linda, een van onze vaste niet-wiskundige lezers vroeg of zij een wiskundige kon aanmelden voor deze rubriek. Ze was aangestoken met het wiskunde-virus door Constance van Eeden, een professor in de statistiek die haar ooit hielp bij het halen van een colloquium doctum wiskunde tentamen. Linda vroeg of wij niet aan deze Constance van Eeden konden vragen wie haar favoriete nog levende wiskundige is. Natuurlijk kunnen we dat!
Constance van Eeden
Constance van Eeden werd geboren in 1927 en studeerde wiskunde aan de Universiteit van Amsterdam. In 1958 promoveerde ze cum laude bij David van Dantzig.
Haar onderzoek richt zich vooral op schattingen in beperkte parameterruimten, beslissingstheorie, nonparametrics en selectieprocedures. Ze werkte op verschillende universiteiten in de VS en Canada en is sinds 1989 verbonden aan de Canadese universiteit van British Columbia als ere-professor. Daar brengt ze elk jaar nog steeds een paar maanden door. Aardig is dat er daar ook een fonds naar haar is vernoemd.
Op de foto draagt Van Eeden de gouden medaille die ze in 1990 kreeg van Statistical Society of Canada voor
[...] her achievements in statistics, particularly in the area of non-parametrics, for her leadership in the development of graduate programs in statistics and for her countless contributions to statistical activities.
We vragen Constance van Eeden per email welke nog levende wiskundige zij bewondert. Ze kiest Charles M. Stein.
Charles M. Stein
Stein werd geboren in 1920 en promoveerde in 1947 op zijn proefschrift A Two-Sample Test for a Linear hypothesis Having Power Independent of the Variance. Hij werkte aan Berkeley voor hij in de jaren vijftig naar Stanford vertrok. Daar bleef hij tot aan zijn pensioen en ook nu schijnt hij nog actief te zijn.
Van Eeden kiest voor Stein omdat hij in de jaren vijftig een belangrijke ontdekking deed door outside the box te denken. Stel dat je voor één parameter een schatting maakt met een zo klein mogelijke kwadratische fout. En stel nu dat je een vector hebt van dit soort parameters. Als je nu deze vector schat met de vector van beste schattingen voor elke parameter apart, dan geeft dit vaak niet een schatting van de vector met de kleinste som van de kwadratische fouten. Zelfs als de steekproeven waarop de schattingen worden gebaseerd onafhankelijk zijn! Stein bewees dit voor het gemiddelde van de normale verdeling voor het geval dat je tenminste drie parameters hebt, later zijn er meer voorbeelden van dit fenomeen gevonden. Dit resultaat was destijds erg verrassend en nog steeds lijkt het tegen je intuïtie in te gaan. Het staat bekend als Stein's paradox/voorbeeld/fenomeen. Wikipedia heeft er een uitgebreid artikel over en (voor de liefhebbers) zelfs een schets van het bewijs.
Een paar jaar later, in 1960, vond Stein samen met James een betere schatter, zodat Stein's resultaat ook in de praktijk kan worden toegepast. Deze schatter heet (zeer toepasselijk) de James-Stein-schatter. Dennis Lindley, een bekende statisticus in die tijd, reageerde als volgt op de publicatie van Stein en James:
The idea... is that the mean of a multivariate normal distribution is not best estimated by the sample mean. When I first heard of this suggestion several years ago I must admit that I dismissed it as the work of one of these mathematical statisticians who are so entranced by the symbols that they lose touch with reality. It must, I argued, be due to the unbounded loss function, or it could bean epsilon-improvement, or the sample size was small. But it is none of these things. The estimate proposed by the author is realistic, a great improvement on the sample mean, and makes good practical sense... We have here one of the most important original statistical ideas of the decade, destined, I feel sure, to influence our thinking and our practice.
Van Eeden heeft Stein nooit ontmoet, ze heeft van anderen gehoord dat hij een erg bescheiden man is. In 2003 interviewde Y.K. Leong Stein over zijn werk en visie. Het eind van het interview vond ik erg mooi en wijs.
Do you find it surprising that statistics can do so many things and solve many problems in real life?
No, it is not clear that it does. It certainly plays an important role but one should not put too much confidence
in this claim.
But statistics takes the guess work out of solving problems. In the old days, you did not know what is going
on and you did it by trial and error. Now statistics gives you a way of doing things.
It gives you a way of thinking about things, but you may not come out with correct conclusions.
Lees zelf het complete interview met Stein uit de Newsletter of Institute for Mathematical Sciences: The Invariant, the Direct and the “Pretentious” (pdf).
Een uitje speciaal voor de lezers in het oosten van het land: morgen (26 maart) geef ik een praatje in Enschede. Om 15.45 uur sta ik in het Mathematisch Café in gebouw Citadel (Drienerlolaan 5) van de Universiteit Twente. Het onderwerp is: De gulden snede en kettingbreuken, of: Alles wat je moet weten over tatoeages en het wordt natuurlijk reuzeleuk!
Let op: de deadline voor de grote Abelprijstoto komt al snel dichterbij!
Op 27 maart wordt de winnaar van de Abelprijs bekendgemaakt. Wie gaat de Abelprijs winnen, denk je? Mail je antwoord naar ons en maak kans op het mooie boek Niels Henrik Abel and his times. We hebben ook mooie troostprijzen zoals wiskundige posters met gedichten van Marjolein Kool.
We hebben nog niet zo veel reacties binnen. Nou snappen wij ook wel dat jullie nog even willen afwachten of de ontdekking van de eeuw toevallig deze week gaat plaatsvinden, maar het wordt toch langzaam wel tijd om je vermoeden op te sturen.
De bekendmaking van de Abelprijs zal deze keer trouwens live te zien zijn op internet!
Raymond Queneau (1903 - 1976) was een Franse schrijver. Hij is een van de oprichters van de Oulipo, een Franse groep die vooral bestaat uit schrijvers en wiskundigen. Ze maken literatuur die voldoet aan bepaalde beperkingen (zo schreef Georges Perec bijvoorbeeld een boek waarin de klinker e niet voorkomt).
Queneau schreef Cent Mille Milliards de Poèmes. Dat boek bestaat uit tien sonnetten (die dus elk veertien regels hebben). Maar het is geen gewone poëzie-bundel: tussen de dichtregels staan kniprandjes en het is de bedoeling dat je de regels losknipt van elkaar, zodat elke bladzijde uit veertien losse flapjes bestaat.
De grap is nu dat de regels van verschillende gedichten ook kloppen met elkaar: als je de eerste regel van gedicht 1 en de tweede van gedicht 4, de derde van gedicht 8 enzovoorts achter elkaar leest, staat er weer een kloppend sonnet. Het boek bevat dus 1014 sonnetten! Vandaar de titel, uiteraard. Maar die wil je niet allemaal lezen: Queneau heeft uitgerekend dat iemand die 24 uur per dag leest wel 190.258.751 jaar nodig heeft om ze allemaal uit te krijgen. (Je kan zelf controleren dat Queneau ongeveer 1 minuut doet over het lezen van een sonnet.)
Op deze website kun je de gedichten zelf samenstellen, in het Frans en in het Engels.
Het mooie plaatje hierboven komt uit dit artikel: Robotic Poetics.
Deze maand in dé rubriek over wiskundigen die op originele wijze aan hun eind gekomen zijn: Évariste Galois (1811 - 1832). Een uitgebreider artikel over Galois verschijnt in het volgende nummer van Pythagoras.
Galois is misschien wel de jongst gestorven beroemde wiskundige. Hij werd in 1811 geboren en stierf op twintig-jarige leeftijd in een duel! Zijn hele leven was nogal turbulent: hij leefde in Frankrijk in een tijd dat de politieke situatie daar weinig stabiel was. De Franse Revolutie van 1789 was nog niet zo lang geleden, en de macht van Napoleon was op zijn hoogtepunt toen Galois geboren werd. Napoleons mislukte veldtocht tegen Rusland was het begin van zijn einde, en in 1815 werd hij verslagen door de Engelsen en de Pruisen in de slag bij Waterloo. Galois' vader was politiek betrokken: hij was burgemeester van het dorpje Bourg-la-Reine, vlakbij Parijs. Hij was overtuigd republikein, en Évariste werd dat ook.
De eerste twaalf jaar kreeg Galois thuis onderwijs van zijn moeder, daarna ging hij naar school. In 1827 kreeg hij voor het eerst wiskunde en hij werd zó enthousiast dat hij zijn andere vakken liet versloffen. In 1828 deed hij toelatingsexamen voor de École Polytechnique, de beste universiteit van Parijs met een republikeinse studentenpopulatie. Ondanks zijn intelligentie werd hij afgewezen, waarschijnlijk door de grote stappen die hij maakte in zijn redeneringen en door zijn houding (het schijnt dat hij een nogal opvliegend karakter had). Hij kreeg op school wiskunde van een goede docent en hij las de boeken van de beste wiskundigen van zijn tijd. In 1829 pleegde zijn vader zelfmoord, en Évariste zakte opnieuw voor het toelatingsexamen van de École Polytechnique.
Hij besloot naar de École Normale Supérieure te gaan. Inmiddels had hij al een paar artikelen gepubliceerd en op advies van de beroemde wiskundige Cauchy stuurde hij zijn werk in voor een prijsvraag van de Academie van Wetenschappen. Toen de prijs bekendgemaakt werd, bleek echter dat Galois' artikel niet was ingeschreven! Het artikel was opgestuurd naar Fourier, en die overleed vóór de beoordelingen. Het is nooit meer teruggevonden.
In 1830 brak er opnieuw een revolutie uit in Parijs. De directeur van de École Normale sloot de studenten op in de school, om te voorkomen dat ze mee zouden gaan vechten. Galois was daar erg boos over, maar kon niet ontsnappen. Toen hij daarna in een krant reageerde op een artikel van die directeur, werd hij van school gestuurd. Hij raakte steeds meer verwikkeld in de politieke onrust en kwam zelfs in de gevangenis terecht. In mei 1832 werd hij door Pescheux d’Herbinville, een goede schutter, uitgedaagd voor een duel.
De avond voor het duel schreef hij brieven, want hij was ervan overtuigd dat hij het niet zou overleven. Zijn wiskundige werk stuurde hij naar een goede vriend, die het doorstuurde naar wiskundigen. Pas veel later werd Galois' werk begrepen en gepubliceerd. Daarna heeft het veel invloed gehad in de algebra, en zijn ideeën staan nu dan ook bekend als Galois-theorie. In die theorie legt hij een verband tussen de oplossingen van algebraïsche vergelijkingen en bepaalde permutatiegroepen. Het groepsbegrip was in Galois' tijd nog nauwelijks ontwikkeld, maar hij had een erg goed inzicht in deze abstracte structuren. Op deze site kun je enkele manuscripten zien.
Tijdens het duel werd Galois in zijn buik geschoten, en de dag daarop stierf hij in het ziekenhuis. Het is niet duidelijk wat de reden van het duel precies was. Het verhaal gaat dat het met een vrouw, Stéphanie-Félicie Poterine du Motel, te maken had, maar er waren ook mensen die een politiek complot vermoedden.
Tom stuurde ons een foto gemaakt bij de finale van de Wiskunde A-lympiade dit weekend. Wat heeft het team van het Norbertuscollege uit Roosendaal toffe shirts!
Van links naar rechts zijn dit: Celeste Krens, Bianca van Overvel, Shanna Kouzeh, Michelle Stok. We weten nog niet hoe ze het gedaan hebben in de wedstrijd, hun werkstukken worden nu nagekeken. De uitslag wordt pas in mei bekend gemaakt...
Iedereen (en ik bedoel ook echt iedereen) kent de stelling van Pythagoras: a2 + b2 = c2. Maar waar stonden die a, b en c ook al weer voor? En hoe kon je die stelling nou bewijzen? Ik leerde op school dat de stelling van Pythagoras geldt voor rechthoekige driehoeken en dat de stelling zegt dat de som van de kwadraten van de rechthoekszijden precies het kwadraat van de schuine zijde is.
Er bestaan veel (en ik bedoel ook echt veel) bewijzen van de stelling van Pythagoras. Op Cut The Knot staan er bijvoorbeeld zevenenzeventig. Zelf vond ik dit plaatje altijd een erg mooi bewijs geven.
De oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)2 = a2 + 2ab + b2. Maar je kunt de oppervlakte van het grote vierkant ook schrijven als de som van het kleine vierkant en vier driehoeken: c2 + 4 x 1/2 x ab = c2+2ab. En hieruit volgt dat a2+b2=c2. Maar snap je na dit bewijs nu ook echt wáárom die relatie geldt? Ik eigenlijk niet.
Gelukkig is er BetterExplained, een site vol met betere verklaringen (en dan bedoel ik ook echt beter). In Surprising Uses of the Pythagorean Theorem geeft Khalid Azad een heldere uitleg. Elke rechthoekige driehoek kan in twee kleinere rechthoekige driehoeken verdeeld worden (in het plaatje is gekozen voor a = 3, b = 4 en c = 5, maar het geldt natuurlijk altijd).
Lees de rest zelf op BetterExplained en ontdek hoe de stelling van Pythagoras ook werkt voor de grootte van pizza's of de tijd die nodig is om data te sorteren. Ik vond dit een tof voorbeeld:
Some programs with n inputs take n2 time to run (bubble sort, for example). In terms of processing time:
50 inputs = 40 inputs + 30 inputs
Pretty interesting. 70 elements spread among two groups can be sorted as fast as 50 items in one group. (Yeah, there may be constant overhead/start up time, just work with me here).
