Wiskundemeisjes

Franklin vierkanten

De hype rond het bijna-Franklin vierkant dat in maart dit jaar door drie scholieren gevonden werd, heeft toch vruchten afgeworpen. Arno van den Essen mailde ons dat een aantal mensen verder ging zoeken naar het 12x12 Franklin vierkant en inmiddels zijn er nieuwe resultaten.

Wat is een Franklin vierkant?

Een 12x12 Franklin vierkant is een vierkant van 12 bij 12 hokjes dat opgevuld is met de getallen 1 t/m 144 en dat aan drie eigenschappen voldoet:

1. De som van de getallen in ieder 2x2 deelvierkant is gelijk aan 290.
2. De som van de getallen op alle parallelle gebogen diagonalen is 870.
3. De som van alle getallen in iedere halve rij en halve kolom (vanaf de rand gerekend) is 435.

Het was echter helemaal niet duidelijk of zo'n vierkant wel bestaat!

De Franklin vierkanten zijn genoemd naar staatsman en politicus Benjamin Franklin, die als eerste over deze vierkanten nadacht.

Je kunt nxn Franklin vierkanten ook definiëren voor andere getallen n, al veranderen de getallen in de eisen dan natuurlijk. Zie ook deze site voor meer uitleg. Franklin zelf had al Franklin vierkanten gevonden van 8x8 en 16x16. We laten zien dat als n geen veelvoud van 4 is, een nxn vierkant nooit een Franklin vierkant kan zijn.

Viervouden

Het eerste wat je kunt opmerken is dat n sowieso even moet zijn, anders kun je niet spreken over halve rijen en kolommen. Vanaf nu nemen we dus aan dat n even is.

Als je een nxn vierkant opvult met de getallen 1 t/m n², dan is de som van alle getallen in het vierkant gelijk aan 1 + 2 + 3 + ... + n² = 1/2 n² (n² + 1). Alle rijen moeten dezelfde som hebben, dus die som moet gelijk zijn aan dit getal gedeeld door n: 1/2 n (n² + 1). Elke halve rij of kolom heeft dus als som 1/4 n (n² + 1). Dit moet natuurlijk een geheel getal zijn, en omdat n² + 1 oneven is (want n is immers even), zien we dat n zelfs een veelvoud van 4 moet zijn. Zonder proberen kunnen we dus bijvoorbeeld Franklin vierkanten van 6x6 of 10x10 al direct uitsluiten!

Voor elk veelvoud van 8 bestaat een Franklin vierkant met dat veelvoud als zijde, zoals Van den Essen liet zien in zijn boek. Maar voor andere viervouden was dat helemaal niet duidelijk: een 4x4 Franklin vierkant bestaat in ieder geval niet en een Franklin vierkant van 12x12 was nog nooit gevonden. Het vierkant dat de drie scholieren vonden in maart lijkt erop: het voldoet aan de eisen 1. en 2., maar niet aan eis 3.

Nieuwe resultaten!

Door de ontdekking van dit vierkant en de hype die daarop volgde, raakten een boel mensen geïnteresseerd in het probleem, zo ook wiskundige Cor Hurkens van de TU in Eindhoven. Hij heeft inmiddels bewezen dat een 12x12 Franklin vierkant niet bestaat! Dat deed hij door zijn computer te laten rekenen, nadat hij het probleem op een slimme manier behapbaar had gemaakt.

Hurkens was niet de enige die op dreef raakte na de hype, en ook niet de enige die resultaten bereikte. Ook de elektrotechnisch ingenieur Huub Reijnders ging aan de slag. Hij vond uiteraard geen 12x12 Franklin vierkant, maar het lukte hem wel om een 20x20 Franklin vierkant te maken, en zijn methode blijkt ook te werken voor de andere getallen van de vorm 20 + 8k! Op deze site kun je zijn 20x20 vierkant zien.

Dit betekent dat nu bewezen is dat er voor alle viervouden n = 4k behalve n = 4 of 12 een nxn Franklin vierkant bestaat: voor n = 4 bestaat het niet, voor n = 12 ook niet, voor alle achtvouden wisten we al dat ze er zijn, en nu weten we ook voor alle getallen van de vorm 20 + 8k dat ze bestaan.

Inmiddels kan ook Cor Hurkens nxn Franklin vierkanten maken voor n = 20 + 8k. Hij geeft verschillende methodes en claimt dat zo voor al deze getallen een Franklin vierkant gevonden wordt. Als je wil weten wat hij precies gedaan heeft, kijk hier op zijn website.

(Jeanine)