Wiskundemeisjes

De favoriete (nog levende!) wiskundige van... (3)

In deze augustus-aflevering van De favoriete (nog levende!) wiskundige van... vertelt Rob Tijdeman wie zijn favoriete wiskundige is. Tijdeman is professor in de getaltheorie in Leiden. Hij is tevens een van de weinige Nederlanders met Erdősgetal 1.

Een van Tijdemans belangrijkste resultaten heeft betrekking op het vermoeden van Catalan. Dat vermoeden werd in de negentiende eeuw geformuleerd en zegt het volgende: als n en m gehele getallen groter dan 1 zijn, heeft de vergelijking xⁿ-y^m=1 geen oplossingen in positieve, gehele getallen x en y, behalve 3²-2³=1. Met andere woorden: twee "echte machten" verschillen altijd meer dan 1, behalve 8 en 9. Dat is een heel sterke uitspraak, want a priori is het helemaal niet duidelijk dat bovenstaande vergelijking zelfs maar eindig veel oplossingen heeft in x, y, m en n. Maar in 1976 bewees Tijdeman dat er inderdaad slechts eindig veel oplossingen zijn! Inmiddels is het vermoeden van Catalan helemaal bewezen, door Preda Mihăilescu in 2002.

Wolfgang Schmidt

Tijdemans favoriete nog levende wiskundige is Wolfgang Schmidt. Hij is geboren in 1933, werkte enige tijd in Wenen en aan verscheidene universiteiten in de VS en was van 1965 tot zijn emiritaat in 2001 professor aan de universiteit van Colorado in Boulder. Hij houdt zich bezig met getaltheorie en meer in het bijzonder met diophantische approximaties, diophantische vergelijkingen en het benaderen van niet-algebraïsche getallen.

Schmidt is bekend om zijn Subspace Theorem. We geven hier een gevolg van deze stelling. De vergelijking x₁ + x₂ + …+ x_n = 0, waarbij de gehele getallen x₁, x₂, …, x_n samengesteld zijn uit een eindige, vaste verzameling priemgetallen, heeft maar een eindig aantal oplossingen zonder dat een deelsom nul is. (Een deelsom is de som van enkele x_i'tjes.) Bijvoorbeeld: de vergelijking 2^a ⋅3^b - 5^c ⋅7^d +11^e - 13^f - 17^g ⋅19^h = 0 heeft maar eindig veel oplossingen in gehele getallen a, b, c, … > 0. (Merk op dat in dit geval de deelsommen nooit nul kunnen zijn, omdat de termen geen gemeenschappelijke delers hebben.)

Waarom is Schmidt Tijdemans favoriete nog levende wiskundige? Schmidt was een inspiratiebron, die belangrijke dingen deed in de tijd dat Tijdeman zelf erg actief was. In zijn voordrachten vertelde Schmidt elke keer weer iets verrassends en met regelmaat iets belangrijks, dus het was altijd leuk om naar hem te luisteren. Maar Tijdeman waardeert hem ook erg op het persoonlijke vlak: hij is altijd eenvoudig gebleven en is een goede vriend voor zijn collega's.

(Jeanine)