Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Archief voor april 2006
Vandaag is de honderdste geboortedag van Kurt Gödel (1906 - 1978). Ik ga vandaag niets over zijn leven schrijven, want informatie daarover kun je bijvoorbeeld lezen in zijn In Memoriam uit The Times of een moderner artikel van Christian Jongeneel.
Gödel is vooral bekend om zijn onvolledigheidsstelling. Die stelling heeft betrekking op het logische bouwsel van axioma's en stellingen dat de wiskunde is. De wiskunde is gebaseerd op axioma's, de fundamenten van de wiskunde. De axioma's zijn beweringen die je aanneemt. Door middel van de regels van de logica kun je uit die axioma's stellingen afleiden. Een stelling is dus een bewering waarvoor een bewijs, zo'n logische afleiding, is gevonden. De onvolledigheidsstelling is dus eigenlijk een meta-stelling: het is een wiskundige stelling die tegelijk iets zegt over de wiskunde zelf als formele taal.
De belangrijkste eis die wiskundigen stellen aan dit formele systeem is dat het consistent moet zijn. Dat houdt in dat in zo'n systeem alleen ware beweringen bewezen mogen kunnen worden, oftewel: als een bewering niet waar is, mag hij niet bewijsbaar zijn.
De wiskundigen uit het begin van de twintigste eeuw, bijvoorbeeld Russell en Hilbert, probeerden de hele wiskunde op die manier om te toveren tot een formele taal. Hun ultieme hoop was dat het mogelijk zou zijn om in zo'n consistent systeem alle ware beweringen ook daadwerkelijk te bewijzen.
Deze hoop werd door Gödel in 1931 de grond in geboord. Hij bewees toen namelijk zijn onvolledigheidsstelling: als je een voldoende sterk, consistent formeel systeem hebt, met de regels van de logica, dan bestaan er altijd beweringen die wel waar zijn, maar niet binnen dit systeem te bewijzen zijn! ("Voldoende sterk" betekent hier dat het systeem minstens de rekenkunde moet omvatten, wat voor een wiskundig systeem natuurlijk niet teveel gevraagd is.)
Het idee van het bewijs is gebaseerd op zelfverwijzing. Gödel is er op een slimme manier in geslaagd om binnen het systeem de volgende bewering te formuleren: "Deze bewering is onbewijsbaar". Nu zijn er natuurlijk twee mogelijkheden. De eerste mogelijkheid is dat de bewering onwaar is. Maar dan is de bewering niet onbewijsbaar, dus bewijsbaar. Dan hebben we een bewering gevonden die onwaar is en toch bewijsbaar! Maar dat is in tegenspraak met de consistentie van ons formele systeem. Deze mogelijkheid valt dus af.
De enige andere mogelijkheid is dat de bewering waar is. Maar nu volgt natuurlijk dat de bewering onbewijsbaar is. Het systeem bevat dus minstens één bewering die waar is, maar niet bewijsbaar. Omdat je dit in elk dergelijk formeel systeem kunt doen, is bewezen dat al die systemen onvolledig zijn.
Voor de wiskundige praktijk heeft de onvolledigheidsstelling veel minder gevolgen dan je misschien zou verwachten. Er is nog nooit een dergelijke zin gevonden die niet speciaal als voorbeeld geconstrueerd is met behulp van die zelfverwijzing. Dat komt natuurlijk ook omdat het in principe niet zo makkelijk is om van een bewering wel te weten dat ze waar is, terwijl er geen bewijs bestaat...
(Jeanine)
(Ionica)
Naar aanleiding van het briljante liedje I'm not the smoothest operator in my class schreef ik samen met Jos Brakenhoff het volgende wiskunde-liefdesversje. Als je zelf ook een wiskundevers of -liedje hebt geschreven, schroom niet en post het in de comments! (Als het te lang is, mag het ook per mail.)
Mensen die bereid zijn om dit versje met ons tot een liedje te maken, of zelf een beter liedje hebben geschreven dat wij mogen meezingen, kunnen zich ook melden!
De verliefde wiskundige
Ik houd van haar karakter,
haar lichaam is perfect,
graag had ik het eens uitgebreid
met zoenen overdekt.
Ze is open en zeer origineel,
haar maat een mooi getal,
ze heeft veel klasse, is discreet
en trouw in elk geval.
We zijn elkaars inverse,
want samen zijn we een.
We hebben parallellen
en raakvlakken gemeen.
Complex was de verhouding wel,
die is nooit echt ontloken:
het meisje bleek imaginair,
mijn ideaal gebroken.
(Jeanine & Jos)
Via Henry Gillow-Wiles kreeg ik een filmpje van vijf jongens die ergens in een gang a-capella een liefdesliedje zingen. Maar wat voor liefdesliedje! Elke zin zit vol met wiskundige begrippen, die ook prima over de liefde kunnen gaan. Mijn favoriet is de titel van deze post. De zingende jongens zijn wiskundige promovendi uit Texas en ze hebben als The Klein Four Group een heel repertoire met dit soort nummers. Download dat filmpje hier zelf.
Hieronder staat ook de hele tekst voor wie niet alles kan verstaan. Zijn er mensen die zoiets in het Nederlands doen? Of willen doen?
Finite simple group of order two
The path of love is never smooth
But mine's continuous for you
You're the upper bound in the chains of my heart
You're my Axiom of Choice, you know it's true
But lately our relation's not so well-defined
And I just can't function without you
I'll prove my proposition and I'm sure you'll find
We're a finite simple group of order two
I'm losing my identity
I'm getting tensor every day
And without loss of generality
I will assume that you feel the same way
Since every time I see you, you just quotient out
The faithful image that I map into
But when we're one-to-one you'll see what I'm about
'Cause we're a finite simple group of order two
Our equivalence was stable,
A principal love bundle sitting deep inside
But then you drove a wedge between our two-forms
Now everything is so complexified
When we first met, we simply connected
My heart was open but too dense
Our system was already directed
To have a finite limit, in some sense
I'm living in the kernel of a rank-one map
From my domain, its image looks so blue,
'Cause all I see are zeroes, it's a cruel trap
But we're a finite simple group of order two
I'm not the smoothest operator in my class,
But we're a mirror pair, me and you,
So let's apply forgetful functors to the past
And be a finite simple group, a finite simple group,
Let's be a finite simple group of order two
(Oughter: "Why not three?")
I've proved my proposition now, as you can see,
So let's both be associative and free
And by corollary, this shows you and I to be
Purely inseparable. Q. E. D.
(Ionica)
Op 10 april schreven we een stukje over De Bankgiroloterij. De Reclame Code Commissie heeft echter ook niet stilgezeten: toen de Bankgiroloterij de misleidende reclames gewoon bleef uitzenden heeft ze besloten de uitspraak openbaar te maken en te verspreiden via een persbericht:
Commercials BankGiro Loterij misleidend
De Reclame Code Commissie heeft de commercials van de BankGiro Loterij misleidend bevonden. Deze geven een misleidende voorstelling van de kans dat men een prijs wint.
Zowel in de radio- als in de televisiecommercial wordt gezegd dat “gemiddeld 1 op de 5” wint, “dus van elke 5 deelnemers wint er altijd 1”. De conclusie dat van elke 5 deelnemers er altijd één wint is onjuist, waardoor de uitingen een onjuiste, te gunstige voorstelling geven van de winkans.
Omdat de Commissie de BankGiro Loterij al eerder heeft aanbevolen zich niet op onjuiste wijze uit te laten over de winkans heeft de Commissie besloten deze uitspraak openbaar te maken.
Kenmerk: Dossiers 06.0066 A en 06.0066 B d.d. 13 april 2006
(Jeanine)
Met Guido Schmeits schreef ik deze week voor Kennislink een artikel over de stelling van Desargues. Of eigenlijk schreven we een artikel over Marleen Kooiman, een zeventienjarige scholiere die in haar profielwerkstuk deze stelling generaliseerde. Heel terecht kreeg ze van de UvA een prijs voor het beste werkstuk (hoewel de eerlijkheid me gebiedt toe te geven dat ik de andere genomineerde werkstukken niet heb gezien, maar dit lijkt me lastig te overtreffen.)
Toen ik het eerste bericht over Marleen's werk las, vroeg ik me twee dingen af:
- Wat is in godsnaam die stelling van Desargues?
- Waarom mocht ik geen profielwerkstuk maken op de middelbare school? Het moet toch fantastisch zijn om als scholier in een vak te duiken dat je echt leuk vindt, te praten met mensen op de universiteit en als klap op de vuurpijl iets nieuws te verzinnen? Ik moest in mijn eindexamenjaar maandenlang allerlei vreselijke experimenten doen bij scheikunde, plantjes kweken bij biologie en veren ijken bij natuurkunde. Ik had veel liever iets aan wiskunde gedaan. Meestal ben ik niet zo bezig met onderwijs, maar bij deze zeg ik: "Hoera voor het profielwerkstuk!".
Laat ik ook vraag 1. beantwoorden voor de lezers die net als ik geen idee hadden wat de stelling van Desargues eigenlijk is. De tekst hieronder komt letterlijk uit het eerder genoemde Kennislink artikel, dus je kan ook stoppen met lezen en op de link hierboven klikken. Voor wie dat niet doet, de tekst hieronder komt van mijn co-auteur Guido. Eventuele complimentjes zal ik doorsturen naar hem!
Girard Desargues
Girard Desargues (1591 – 1661) was een Franse wiskundige en architect uit Lyon. Nog geen halve eeuw voor zijn geboorte was in Frankrijk de renaissance begonnen. Je hoeft maar aan Leonardo da Vinci te denken om te weten dat wetenschap en kunst goed samengingen in die tijd. Dat gold ook voor Desargues. Hij hield zich bezig met perspectief, iets wat de renaissancekunstenaars steeds beter onder de knie hadden gekregen. In 1648 verscheen zijn beroemde stelling in een boek van zijn vriend Abraham Bosse, een kunstenaar. Deze stelling gaat over driehoeken en perspectief.
De stelling van Desargues
Als een goed wiskundige vereenvoudigde Desargues de perspectiefproblemen van de kunstenaars net zolang, totdat hij alleen de essentie overhield. De kathedraal van Lyon was voor hem hetzelfde als een driehoek in het platte vlak.
Figuur 1. Behalve een driehoek zie je in figuur 1 ook rechts de waarnemer (de schilder, beeldhouwer, graveur), die vanaf de zijkant naar de platte driehoek ABC kijkt. Vanuit het perspectief van deze waarnemer ligt hoekpunt B boven hoekpunt C, en hoekpunt C boven hoekpunt A. Wat de waarnemer ziet, kan hij op een vel papier vastleggen. De blauwe punten zijn de projecties van de hoekpunten A, B en C op dat vel papier.
Figuur 2. De groene driehoek abc in figuur 2 levert voor deze waarnemer precies dezelfde projectie op als de rode driehoek ABC. Je zegt dat driehoek ABC en driehoek abc ‘in puntperspectief zijn’ ten opzichte van het punt O, het oog van de waarnemer.
Figuur 3. Desargues kwam nu op het idee om de zijden van beide driehoeken te verlengen. Vervolgens tekende hij het snijpunt van de verlengde zijden AB en ab, van de verlengde zijden BC en bc, en van de verlengde zijden AC en ac. Desargues beweerde en bewees dat deze snijpunten alle drie op één rechte lijn liggen, de paarse lijn in figuur 3. Het omgekeerde is ook waar: als de snijpunten op één lijn liggen, dan zijn de driehoeken in puntperspectief. En dit is precies de stelling van Desargues. Het bewijs is hier te vinden.
(Ionica)
Vandaag wordt Andrew Wiles 53 jaar. Hij is een van de beroemdste levende wiskundigen, omdat hij in 1994 een eeuwenoud probleem uit de getaltheorie oploste: hij bewees de laatste stelling van Fermat. "Stelling" is hier een groot woord: in de wiskunde is een stelling een bewering waar een bewijs voor bestaat, terwijl Pierre de Fermat (1601 - 1665) zijn bewering in de kantlijn van een boek gekriebeld had met als opmerking erbij: Ik heb hiervoor een waarlijk prachtig bewijs gevonden, maar helaas is de kantlijn te klein om het te bevatten.
Fermats bewering zegt het volgende: de vergelijking xn + yn = zn heeft geen oplossingen in gehele getallen x, y en z die niet gelijk aan nul zijn als n groter dan 2 is. Als n gelijk aan 2 is zijn er wel oplossingen, er zijn er zelfs oneindig veel, en waarschijnlijk heb je er wel eens een gezien: alle drietallen gehele getallen die de zijden vormen van een rechthoekige driehoek voldoen dan (denk aan de stelling van Pythagoras).
Sinds die tijd hebben veel, heel veel, wiskundigen geprobeerd Fermats bewering te bewijzen, maar het lukte niemand. Speciale gevallen waren al een hele tijd afgehandeld. Dat er geen oplossingen zijn als n=4 had Fermat zelf al bewezen, het geval n=3 werd afgehandeld door Euler. Ook andere speciale gevallen werden in de loop der tijd bewezen, maar een algemeen bewijs bestond nog niet.
Andrew Wiles verzon een boel nieuwe wiskunde in zijn bewijs. In zijn bewijs wordt de getaltheorie gekoppeld aan de algebraïsche meetkunde. Hij gebruikte een bewijs uit het ongerijmde: hij nam aan dat de Fermatvergelijking wel een oplossing had, en leidde daaruit als volgt een tegenspraak af. Gerhard Frey had in 1984 laten zien dat uit een hypothetische oplossing van de Fermatvergelijking een elliptische kromme (de Freykromme) gemaakt kan worden. Kenneth Ribet bewees dat deze kromme niet modulair kan zijn. De belangrijke stelling die Wiles vervolgens bewees, is dat alle elliptische krommen modulair zijn (een speciaal geval van het vermoeden van Shimura-Taniyama), met als gevolg dat de Freykromme niet kan bestaan, en dus de hypothetische oplossing van de Fermatvergelijking ook niet.
Aangezien de laatste stelling van Fermat een heel beroemd open probleem was waar eigenlijk niemand nog serieus aan durfde te beginnen, vertelde Wiles niemand wat hij aan het doen was, behalve zijn vrouw. Na zeven jaar hard werken dacht hij dat hij het bewijs gevonden had. Na zijn presentatie werd echter een fout gevonden. Gelukkig werd, met wat hulp van andere mensen, het bewijs binnen een jaar gerepareerd, zodat Wiles geschiedenis geschreven heeft!
Leestip: Het laatste raadsel van Fermat (Fermat's last theorem) van Simon Singh, een erg goed en duidelijk boek waar het enthousiasme voor de wiskunde van af straalt!
(Jeanine)
Veel wiskundigen ergeren zich aan het slordige, weinig precieze taalgebruik in het dagelijks leven, bijvoorbeeld in reclames. In sommige reclames worden zelfs onwaarheden verteld! Een voorbeeld hiervan is de reclame van de Bankgiroloterij. Hierin werd de argeloze luisteraar of kijker beloofd:
Van iedere 5 deelnemers wint er altijd 1 een prijs. Gegarandeerd!
Als je even goed nadenkt, zie je dat dat betekent dat er maar 4 deelnemers kunnen zijn die geen prijs winnen! Als er namelijk 5 mensen zouden zijn die meedoen en geen prijs winnen, dan zijn dat 5 deelnemers waarvan er niet 1 een prijs wint. Twee wiskundigen, Jan Brandts en Reinier Bröker, hebben onafhankelijk van elkaar een klacht ingediend bij de Reclame Code Commissie. Jan Brandts schreef ons vorige week:
Wat ik verder nog niemand heb verteld is dat de Bankgiroloterij daarna hun reclame hebben aangepast door eerst te melden dat "gemiddeld 1 op de 5 wint" (wat ik geen foute uitspaak vind) om vervolgens toch ook nog hun eerdere foute uitspraak te herhalen!
Misschien denken ze wel dat als je eerst iets waars zegt, de onwaarheid van de daaropvolgende uitspraak gecompenseerd wordt of zo, geen idee. Hoe dan ook, ik heb toen weer bezwaar gemaakt, en ben twee weken geleden wederom in het gelijk gesteld. De Reclame Code Commissie heeft echter alleen een "adviserende stem" en kunnen reclames niet verbieden. Dus in feite zegt het allemaal niets.
En Reinier schreef bijvoorbeeld in zijn brief:
Volgens de Bankgiroloterij doen er maandelijks ongeveer 1 miljoen mensen mee aan hun loterij. De reclame zegt nu letterlijk dat er bij 1 miljoen deelnemers 999.996 winnaars zijn. Dit is uiteraard onjuist.
De reclame-uiting van de Bankgiroloterij lijkt mij misleidend.
Dus pas goed op! Als je meedoet met de Bankgiroloterij en je vrienden ook, bestaat de kans dat jullie allemaal niets winnen, ook als je met z'n vijven bent!
(Jeanine)
We kregen wat kritiek op de naam van onze website. Een professor mopperde dat "Wiskundemeisjes" te tuttig was. Een andere wiskundige vond dat we ons hadden moeten profileren als "math babes". Maar Jeanine en ik hebben helemaal geen zin om in een bikini wiskunde te presenteren.
Voor mannen die toch op zoek zijn naar "math babes" biedt de website How To Do Girls soelaas. In twaalf afleveringen Bikini calculus leggen Jaime Lynn en Paige uit hoe je integralen berekent, wat de kettingregel is en nog veel meer. Om dat allemaal nog leuker te maken, doen ze dat in een bikini. Op de website of Google video zijn twee filmpjes te downloaden. Zoeken op "bikini calculus" en genieten maar!
Het onderstaande plaatje laat bijvoorbeeld zien hoe je de oppervlakte onder een grafiek benadert met rechthoeken. Jamie moedigt de kijker aan om steeds kleinere rechthoeken te gebruiken: "You don't want to miss any of this, do you?"
Jamie Lynn is een ingehuurd playboy-model, maar Paige (het linkermeisje op de bovenste foto) lijkt ook echt iets te snappen van wat ze vertelt. Volgens haar biografie heeft ze een master in Nuclear Engineering van het MIT en is ze nu bezig met een PhD in Radiology. Zou ze daar ook college geven? En zoja, hoeveel studenten zouden na afloop verzuchten dat de film toch beter was?
(Ionica)
Wiskundigen houden van vergelijkingen. Ik hoorde de afgelopen weken twee aardige.
Vorige week vertelde Jaap Top op het Nederlands Mathematisch Congres over Jean-Pierre Serre, de eerste winnaar van de Abelprijs. Op een congres op Texel beweerde Serre eens dat een zwembad eigenlijk net zo iets is als een kop koffie. Iemand protesteerde (dat was waarschijnlijk geen topoloog) dat er wel degelijk wezenlijke verschillen waren. Bij koffie is het bijvoorbeeld heel makkelijk om bij het roeren de koffie over de rand van het kopje te laten klotsen. Hoe zat dat dan bij een zwembad?
Serre kreeg een groepje wiskundigen zo gek om in het zwembad van hun hotel samen de beweging van een koffielepeltje na te bootsen. En jahoor, het water klotste vrij snel over de rand. De hotelmanager heeft nu waarschijnlijk wiskundigen op de zwarte lijst gezet tussen voetbalhooligans en andere vandalen.
Een douchestraal is net een complex getal
Johan Konter vertelde op een weekend van Vierkant voor wiskunde dat een douchestraal eigenlijk net een complex getal is. Laten we (voor de mensen die niet van complexe getallen houden) beginnen met de douchestraal. Er zijn twee manieren om dezelfde soort douchestraal te krijgen:
- (Old school) Je hebt een knop voor warm water en een knop voor koud water en je draait aan deze knoppen tot je de goede temperatuur en straalkracht te pakken hebt.
- (Hipsters) Je hebt een thermostaatkraan en je stelt met een knop de temperatuur in en met een andere knop de straalkracht.
En dan nu de complexe getallen. Op de old school manier bepaal je een complex getal door zowel zijn reële als zijn imaginaire deel te geven. Echte hipsters maken echter hun complexe getallen door zowel de straal als de hoek te geven. Zie ook het mooie plaatje hierboven. Liefhebbers kunnen de details nu verder zelf invullen...
