Wiskundemeisjes

(Speciaal voor de kerstvakantie: een lang stuk over het vierkleurenprobleem dat ik schreef voor de site van Reken mee met abc (die binnenkort online komt.))

In 1852 was Francis Guthrie bezig om een kaart van de Engelse counties netjes in te kleuren. Netjes betekent in dit geval dat hij wilde zorgen dat elke twee aan elkaar grenzende counties verschillende kleuren hadden, zodat duidelijk was waar counties begonnen en eindigden. Guthrie ontdekte dat hij maar vier verschillende kleuren nodig had. Hij vroeg zich af of je misschien voor elke landkaart genoeg zou hebben aan vier kleuren. Daarmee was het befaamde vierkleurenprobleem geboren.

De kaart met de verschillende staten van Amerika is ook met vier kleuren in te kleuren. Guthrie vermoedde dat dit voor elke kaart zou lukken.

Guthrie vroeg aan de bekende wiskundige De Morgan hoe hij zijn vermoeden moest bewijzen. De Morgan had geen flauw idee, maar werd gegrepen door het probleem. Hij stuurde de vraag nog dezelfde dag naar de beroemde Hamilton met de opmerking "Als jij met een of ander slim voorbeeld komt waardoor ik een dom dier lijk, dan zal ik voortaan moeten zwijgen als de sfinx...". Gelukkig voor hem kwam Hamilton niet met een slim voorbeeld van een landkaart waarvoor vijf kleuren nodig waren of met een eenvoudig bewijs. Integendeel: Hamilton schreef enkele dagen later terug: "Het is niet erg waarschijnlijk dat ik binnenkort iets zal proberen te doen met dat viertal kleuren van jou". De Morgan bleef daarna bij wiskundigen aandringen dat ze naar een oplossing moesten zoeken.

Het duurde een tijd voor er resultaten geboekt werden. De eerste die het lukte om iets te bewijzen, was Arthur Cayley in 1878. Hij bewees dat het genoeg was om alleen te kijken naar landkaarten waar steeds precies drie landen in een punt bij elkaar komen. Het lukte hem niet om het probleem verder op te lossen; in zijn artikel gaf hij ook aan waar de moeilijkheden van een bewijs lagen. Read the rest of this entry »

Een tijdje terug kregen we twee emails over hetzelfde filmpje binnen. Zowel Martin als Arjan stuurden ons een link naar Math Lesson: A new way to multiply.

De methode die gebruikt wordt is helemaal niet zo nieuw, maar het ziet er mooi uit én het is leuk om te bedenken waarom dit werkt.

(Ionica)

Als reactie op het advies van de resonansgroep wiskunde (zie ook ons stukje), heeft het ministerie van OCW een aantal veranderingen aangebracht in de nieuwe concept-examenprogramma's die in augustus 2007 ingaan. Het gaat om kleine veranderingen, want op het moment dat de resonansgroep gevraagd werd zich te buigen over de programma's waren de leermiddelen eigenlijk al bijna klaar.

In 2009 (havo) en 2010 (vwo) gaan echt nieuwe examenprogramma's in. Tegen die tijd zullen de aanbevelingen van de resonansgroep opnieuw worden meegenomen. Dan zal ook het CEVO, na overleg met deskundigen, docenten en schoolleiders, bekijken of het haalbaar en wenselijk is een deel van het centraal examen zonder grafische rekenmachine te toetsen.

Hier kun je het hele besluit van het ministerie lezen.

(Jeanine)

Ook het Freudenthal Instituut (FIsme) geeft zijn mening in het onderwijsdebat (zie ook hier en hier).

Jan van Maanen schreef deze brief, waaruit duidelijk wordt dat het FIsme de problematiek van het wiskundeonderwijs te ingewikkeld vindt om die alleen vanuit het perspectief van aansluiting tussen middelbare school en hoger onderwijs te bekijken. Over het voorstel om het examen op te splitsen in een deel met en een deel zonder grafische rekenmachine zegt hij:

De Resonansgroep kiest voor wijzigingen in het curriculum die weinig rekening houden met de complexiteit van het onderwijs. Karakteristiek voor deze opstelling van de Resonansgroep is het voorstel het examen te splitsen in een deel zonder GR en een deel met. De implicatie is dat we de leerling ontnemen wat hij zou moeten leren: verstandig te kiezen uit beide aanpakken, door hem/haar voor te schrijven de rekenmachine voor tien uur wél, en daarna níet te gebruiken. Zo traint men aapjes, zo helpt men leerlingen niet om zich tot zelfstandig denkende mensen te ontwikkelen.

Van Maanen sluit positief af met een voorstel tot samenwerking:

Wij stellen dan ook voor een gelegenheid te creëren waarin de diverse partijen zoals die zich nu manifesteren elkaar zodanig kunnen ontmoeten dat een constructief gesprek op gang komt, waarin van diverse kanten samengewerkt kan worden aan wat een gemeenschappelijk ideaal zou kunnen zijn: wiskunde die voor de leerling waard is geleerd te worden, bruikbaar is voor vervolgopleiding en een eerlijk en aantrekkelijk beeld van de discipline als wetenschap geeft.
Wij zijn graag bereid het initiatief daartoe te nemen.

(Jeanine)

Na het onderwijsrumoer van de afgelopen weken, dient zich een nieuwe speler aan in het discussieveld: de onderwijsraad, het adviesorgaan voor de regering op het gebied van onderwijs.

De raad reageert niet direct op de bevindingen van de resonansgroep of de NVvW, maar baseert zijn eigen conclusies op een rapport uit augustus van het IVA Beleidsonderzoek en Advies. In één casus in dit rapport worden de aansluitingsproblemen tussen het vwo en de bèta-faculteit van de Universiteit Twente behandeld. Die problemen ontstaan vooral door een gebrek aan wiskundige kennis. Het IVA constateert ongeveer dezelfde problemen als de resonansgroep en de docenten op de universiteiten:

Opgemerkt wordt dat leerlingen in het studiehuis vooral contextrijke wiskunde krijgen. Bovendien hebben ze niet meer geleerd om kennis over wiskunde op te slaan. Wel hebben ze geleerd hulpmiddelen goed te hanteren. Maar waarom een probleem op een bepaalde manier aangepakt moet worden juist weer niet. Ook wordt opgemerkt dat er minder onderwijstijd voor wiskunde beschikbaar is in het VWO.
Aangegeven wordt dat Twente niet de enige universiteit is die dit signaleert, maar dat eenzelfde beeld bij meerdere universiteiten en hogescholen bestaat conform de constateringen uit het landelijke evaluatierapport Tweede Fase.
Bovendien merkt men op dat het niveau in de loop der jaren geleidelijk aan lager is geworden. In Delft en Eindhoven, waar men al langer toetst, ziet men de divergentie steeds wat groter worden. Als mogelijke oorzaak hiervoor wijst men op het toenemend gebruik van hulpmiddelen, ook bij de eindexamens zelf.

en:

Eén van de geïnterviewden geeft aan dat het probleem aan beide kanten zit: de universiteiten willen binnen het reguliere curriculum geen verdere concessies meer doen (en kunnen dat bovendien ook niet). De aanpassingen hebben al zoveel mogelijk plaatsgevonden op basis van de input die de twee gedetacheerde wiskundedocenten hebben geleverd (zie hierboven). Terwijl het VO zegt: “dit zijn de studenten die jullie voortaan krijgen”. De studenten moeten echter vanaf het begin een bepaald niveau hebben.

In het persbericht van de onderwijsraad staan wat algemenere aanbevelingen:

Uit de peilingen blijkt geen sterke achteruitgang van de kennis voor het hele onderwijs. Een algemene conclusie dat het slecht gaat met de kennis in het onderwijs is daarom niet te trekken. Wél zijn er sterke signalen dat er een niveauverlies is voor de vakken Nederlands en wiskunde in alle onderwijssectoren.

en:

Wat wiskunde betreft is er sprake van een niveauverlies en een tekort aan reken- en formulevaardigheden. In de praktijk blijken sommige instellingen in het onderwijs nu al maatregelen te nemen om iets te doen aan deze kennistekorten bij leerlingen en studenten. De raad vraagt vo-, mbo-, hbo- en wo-instellingen systematisch na te gaan waar kennistekorten ervaren worden en daar vervolgens reparatieprogramma’s voor op te zetten. De minister moet
deze reparatieprogramma’s ruimhartig ondersteunen.

Wie is blij om dit te horen en wie niet? Laat het ons weten in de comments!

(Jeanine)

Hier schreven we al over ons artikel Autisten, genieën, horken en kluizenaars - Wiskunde en wiskundigen verbeeld in romans. Inmiddels staat de hele tekst op de site van de Academische Boekengids, dus iedereen die er niet in geslaagd is een ABG te bemachtigen kan het nu toch lezen!

(Jeanine)

Remke Kloosterman attendeerde ons op een wel heel originele adventkalender. Meestal vind je in een adventkalender achter de 24 deurtjes stichtelijke plaatjes van de kerststal, vrolijke kerstmannen, kleine chocolaatjes of speelgoedjes. Deze adventkalender echter staat op internet en elke dag komt er een mooi wiskundig filmpje uit, tot het Kerstmis is! Elk filmpje heeft te maken met topologie of algebraïsche meetkunde.

Dit bijvoorbeeld is het filmpje van 3 december:

(Jeanine)

Wiskundige William H. Kazez van Cornell trad al een paar keer op als deskundige in een rechtszaak. Hij gebruikte bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras om te laten zien dat een drugsdealer te dicht bij een school aan het werk was (toch goed dat ze daarvoor iemand vragen die gepromoveerd is). Hij loste ook het onderstaande probleem op van een man die in een schijnbaar oneindige cirkel zat.

Deze man kreeg elke maand 1000 dollar van de staat New York. Dit bedrag was bepaald met een formule waarin onder andere 30% van zijn huur voorkwam. De man betaalde 300 dollar huur per maand. Zijn huisbaas had echter een vreemde regel in zijn huurcontract gezet: als het inkomen van de huurder steeg, dan ging de huur omhoog met 20% van de loonsverhoging.

Je ziet waarschijnlijk al aankomen waar dit misging. De man kreeg bericht van de staat dat hij voortaan 1100 dollar per maand zou krijgen. Hij vertelde dit netjes aan zijn huurbaas, die onmiddellijk de huur ophoogde naar 320 dollar (een verhoging met 20% van 100 dollar). Maar nu had de man recht op een hogere toelage van de staat! Met zijn huurcontract in de hand ging hij naar de staat, die zijn toelage verhoogde naar 1106 dollar per maand.

Voordat de man weer terug ging naar zijn huisbaas, liep hij eerst langs een advocaat. Hij zag al aankomen dat hij anders erg lang bezig kon blijven met heen en weer lopen... De advocaat vroeg wiskundige Kazez om hulp. Lees hoe Kazez dit probleem oploste: Hij heeft het hele verhaal erg geestig opgeschreven in deze pdf-file.

(Ionica)

Meestal mengen de wiskundemeisjes zich niet in verhitte discussies (niet online, althans). Nu doen we het toch. Er gebeuren namelijk allerlei belangrijke dingen omtrent de wiskundevoorstellen havo en vwo voor 2007 en later.

Een paar weken geleden kwam de resonansgroep wiskunde met een advies. De resonansgroep wiskunde is door de minister van OCW opgericht om de aansluiting van het nieuw voorgestelde programma voor havo en vwo op het hbo en wo te toetsen.

De belangrijkste aanbevelingen zijn:
1. Zorg ervoor dat het ontwikkelen van reken- en formulevaardigheid weer als een rode draad door het gehele wiskundeonderwijs heenloopt.
2. Splits voor alle wiskundevakken het centrale schriftelijke eindexamen (CE) in twee delen: een deel dat zonder hulpmiddelen (grafische rekenmachine en formulekaart) wordt afgenomen, en een deel waarin wel van deze hulpmiddelen gebruik mag worden gemaakt.
3. Heroverweeg de rol van contexten in het wiskundeonderwijs.

De rol van de grafische rekenmachine (GR voor vrienden) in het middelbaar onderwijs is een terugkerend gespreksthema onder docenten die de eerstejaars studenten wiskunde onder hun hoede hebben. Vaak blijkt inderdaad dat de GR teveel gebruikt wordt, waardoor basale reken- en formulevaardigheden in het gedrang gekomen zijn. Daarom leek het mij een bijzonder goed idee om deze vaardigheden apart te toetsen, zonder GR en formulekaart. Natuurlijk zie ik ook het nut van de grafische rekenmachine, het is een goede voorbereiding op rekenen en modelleren met een computer, wat in het vervolgonderwijs vaak terug zal komen.

Het bestuur van de NVvW echter was niet blij met het advies van de resonansgroep en stuurde een gepikeerde brief. Inzet is dat het programma juist op advies van de universiteiten veranderd was: uit de academische wereld bleek vraag naar vaardigheden als zelf problemen oplossen, redeneren en bewijzen. Het bestuur van de NVvW erkent dat de grafische rekenmachine vaak verkeerd gebruikt wordt en dat daar iets aan moet gebeuren, maar ziet niets in aparte toetsing op het CE.

De NVvW ontkent dus niet dat de algebraïsche vaardigheden van leerlingen niet meer zijn wat ze vroeger waren, maar zegt dat dit gecompenseerd wordt door andere vaardigheden, zoals het gebruik van computers en redeneren. De NVvW vindt dat de resonansgroep teveel nadruk legt op de algebraïsche vaardigheden en te weinig op de andere vaardigheden die daarvoor in de plaats gekomen zijn en op de andere onderdelen van het programma. Ook geeft de NVvW zelf een aantal punten waarop het wiskundeonderwijs verbeterd kan worden. Bovendien vindt het bestuur dat ook het hbo en wo verantwoordelijkheid moet nemen voor de aansluiting tussen hbo en wo.

Maar buiten deze argumenten lijkt de brief deels een persoonlijke aanval te zijn. Uit de volgende citaten blijkt dat de NVvW weinig genegen is de resonansgroep serieus te nemen en dat ze zich gepasseerd voelt:

Het lijkt ons evenmin verstandig om vanuit een verengd perspectief van doorstroomrelevantie absolute uitspraken te doen over de inhoud van de programma’s. We begrijpen de ijver van de Resonansgroep en het gevoel van urgentie van het probleem. Maar toch: het had de Resonansgroep gesierd als zij hier enige bescheidenheid had getoond, door te beseffen dat haar kennis van het programma en het onderwijs uit de aard der zaak beperkt is.

en:

Samen met docenten uit WO en HBO kijken we naar de aansluiting in de hoop er beiden wat van te leren en er beiden her onderwijs mee te verbeteren. Er is bij ons ook wel eens een verlangen naar een Resonansgroep voor het hoger onderwijs…

en:

De leraren waren met opzet geweerd uit de Resonansgroep. We bieden u hierbij de reactie van het veld aan en hopen dat u die in de uiteindelijke besluitvorming zult willen betrekken. Een stellingenstrijd heeft geen enkele zin, we moeten het samen doen.

Voor een uiterst degelijk commentaar op de brief van het bestuur van de NVvW verwijs ik jullie door naar de reactie van Henk Pfaltzgraff, die ook spreekt vanuit de onderwijspraktijk.

En dan nu de vraag aan onze lezers: hoe denken jullie (leerlingen, studenten, leraren, academici) over al deze onderwijsvernieuwingen? En hoe hebben jullie de overgangsproblemen tussen vwo en wo ervaren?

(Jeanine)

Uit de NRC een heel lief ikje...

Formule

„Meneer”, zei ik, in de drukte van het verlaten van de klas.

Lange Jan, onze natuurkundeleraar, deed een stap in mijn richting.

„Ja jongen, wat is er?”

„Meneer, klopt deze formule?” Ik hield hem een blaadje voor.

„Ja natuurlijk jongen, dat is de cosinusregel.”

„Oh.” Heftig teleurgesteld droop ik af. Had ik daar zo’n mooie formule gevonden, en dan bleek ie al bekend te zijn.

Jan Verbakel

(Ionica)