Wiskundemeisjes

Leen tipte ons dat wiskundemeisje Danica McKellar eergisteren een gastrol speelde in The Big Bang Theory (dé sitcom voor nerds). Zelf kijk ik al een tijdje niet meer naar die serie, maar deze aflevering (titel "The Psychic Vortex") heb ik toch even gekeken. Mmm...niet echt een glansrol voor Danica, ze mocht niet eens een grap over Flatland maken...

De veiligheid van cryptosysteem RSA is gebaseerd op het feit dat het moeilijk is om heel grote getallen te ontbinden in priemfactoren. Bij RSA wordt altijd een heel groot getal gebruikt dat het product is van twee (ook grote) priemfactoren, en als je erachter kunt komen wat die priemfactoren zijn, kun je de boodschappen die met behulp van dat grote getal versleuteld zijn lezen. Dat is natuurlijk niet de bedoeling.

Een internationaal team van onderzoekers, waaronder wiskundigen van het CWI, is er nu in geslaagd zo'n groot getal te factoriseren: het RSA-getal RSA-768. Het is een getal van 232 decimale cijfers. Dit getal was een van de getallen uit de RSA Factoring Challenge. In 1991 werd een rits getallen gepubliceerd; elk van die getallen was gemaakt door twee heel grote priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen. De uitdaging was natuurlijk om deze priemfactoren te vinden. In 2007 werd een eind gemaakt aan de RSA Factoring Challenge, maar nog niet alle getallen zijn gefactoriseerd.

Betekent het feit dat we steeds grotere getallen kunnen factoriseren dat RSA niet meer veilig is? Nee hoor, maar in de keuze van de sleutels moeten wel steeds grotere getallen gebruikt worden.

Lees hier een stukje van Koen Vervloesem over deze prestatie, en lees hier het persbericht van het CWI.

(Met dank aan Jurjen voor de tip.)

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Het nieuwe jaar is net begonnen. Hoe staat het met uw goede voornemens? De mijne hebben dit jaar vooral met werk te maken (mijn proefschrift eindelijk afmaken, bijvoorbeeld), maar een van de meest voorkomende goede voornemens is een paar kilo afvallen.

Volgens de laatste cijfers van het CBS had in 2008 maar liefst 46,9 procent van de Nederlanders van twintig jaar of ouder overgewicht. Hierbij is overgewicht gedefinieerd met behulp van de zogenaamde Body Mass Index (BMI): je BMI is je gewicht gedeeld door het kwadraat van je lengte, waarbij je je gewicht in kilogrammen en je lengte in meters moet invullen. Wie 60 kilo weegt en 1 meter 67 lang is, heeft een BMI gelijk aan 60/(1,67)² = 21,5.

Je hebt overgewicht als je een BMI hebt van 25 of meer. Met een BMI tussen de 25 en 30 heb je matig overgewicht, en bij een BMI van 30 of meer heb je ernstig overgewicht. Je hebt ondergewicht als je BMI kleiner is dan 18,5.

Maar wat betekent dat getal nou eigenlijk? Het is een heel rare grootheid: je deelt je gewicht (je massa, eigenlijk) door het kwadraat van een lengte. De bijbehorende eenheid is dus kg/m². Fysiologisch gezien betekent deze grootheid helemaal niets, de BMI meet geen echt bestaande eigenschap van je lichaam.

Een ander probleem is dat de index geen rekening houdt met lichaamsbouw en vetpercentages. Een atletisch persoon met veel spieren en weinig vet is relatief zwaar en heeft een hoge BMI, want spieren hebben een hogere dichtheid dan vet. Toch wil je eigenlijk niet zeggen dat zo iemand overgewicht heeft. Ook hoe het vet over je lichaam verdeeld is, wat wel uitmaakt voor de gezondheidsrisico’s, wordt niet meegenomen in de BMI.

Waar komt die BMI dan eigenlijk vandaan?

De BMI wordt ook wel queteletindex genoemd, naar de wiskundige en sterrenkundige Adolphe Jacques Quételet (1796 – 1874). Hij was een van de eersten die statistische methoden gebruikte voor sociale fenomenen zoals criminaliteit en sterftecijfers. Daarvóór werd statistiek eigenlijk alleen maar in de sterrenkunde gebruikt.

Adolphe Quételet

Quételet probeerde aan de hand van metingen gegevens over “de gemiddelde mens” te verkrijgen. Hij verzamelde gegevens van een heleboel mensen en stelde een relatie vast tussen lengte en gewicht. In de Engelse versie van zijn boek staat: “the weight is in proportion to the square of the stature”, in andere woorden: over de hele populatie genomen staat het gewicht zo’n beetje in een vaste verhouding tot het kwadraat van de lengte.

In 1972 werd de queteletindex door Ancel Keys, die de invloed van voeding op gezondheid onderzocht, omgedoopt tot de Body Mass Index. Hij linkte de formule wel aan overgewicht, maar stelde ook dat de BMI alleen geschikt is voor populatiestudies en niet als diagnostisch instrument voor individuen.

Toch wordt de index daar veel voor gebruikt, vooral omdat hij zo gemakkelijk te berekenen is. Maar of je nu een officieel gezonde BMI hebt of niet: als je broeken sinds de Kerst wat strakker zitten, kan goede voornemens maken geen kwaad.

Tanya Khovanova verzon de volgende, tamelijk briljante, puzzel. Welke figuur hoort niet in dit rijtje thuis?

Denk goed na voor je antwoord geeft! Hier vind je de oorspronkelijke puzzel van Tanya en hier staat haar analyse van de reacties die ze kreeg.

Fabrice Bellard heeft van de eerste 2,7 biljoen cijfers na de komma uitgerekend. Hoera voor Fabrice, want dat is een nieuw record! Om een indruk te geven hoeveel belachelijk veel cijfers dit zijn: als je deze 2,7 biljoen cijfers gaat opzeggen (zeg één per seconde), dan duurt dat 85.616 jaar. Dus.

Extra stoer is dat Fabrice Bellard een slimme manier verzon om de berekeningen te doen en dat hij ze op een gewone computer deed (en niet zoals vaak bij dit soort records op een supercomputer). Op zijn website beantwoordt hij vragen als "Waarom doe je dit?".

Kunnen jullie je dat mooie speelkaartenveelvlak, dat je ook zelf kon gaan knutselen, nog herinneren? Nou, Ilse Calis ging inderdaad aan de slag met de Kerst. Ze knutselde het veelvlak van zestig witte kaartjes, en ze maakte er heel creatief een lamp van. Mooi zeg, wat een goed idee!

In 1998, toen ik nog een informaticameisje was, stond ik in een lange rij min of meer naïeve eerstejaarsstudenten op een parkeerplaats in Delft. Een oudere student schreeuwde ons door een megafoon toe dat we ons alfabetisch moesten sorteren op voornaam. We moesten een bubble sort gebruiken: je vroeg de naam van je buurman (of in zeer zeldzame gevallen van je buurvrouw) en als je verkeerdom stond, dan wisselde je van plaats. Het werd een lange middag...

Ik moest hieraan denken toen Joris ons een tijdje terug wees op Sorting Algorithm Animations, een heldere site waarop je verschillende sorteeralgoritmes met elkaar kunt vergelijken voor verschillende beginvoorwaarden.

Elk algoritme heeft een aparte pagina met een beschrijving, een lijstje eigenschappen en referenties. Mooi!

Een tijdje geleden heb ik een heel goed boek gelezen: Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, geschreven door David (Dave) Richeson, die ook een leuke weblog heeft (Division by zero).

Ik heb het boek gerecenseerd voor de Mathematical Intelligencer (in het Engels, dus). De recensie begint zo:

‘‘They all missed it.’’ Richeson’s book begins with a strong and clear motivation for one of his key points on the nature and the historical development of mathematics. ‘‘It’’ is ‘‘Euler’s Gem,’’ Euler’s polyhedron formula, one of the most beautiful formulas of mathematics (in fact, the author informs us, a survey of mathematicians found its beauty to be second only to , also Euler’s). ‘‘They’’ refers to all of Euler’s predecessors who, though active in the field of geometry, failed to come across this elegant and, to our eyes, even obvious relationship.

Euler’s polyhedron formula is elegant and simple: In a polyhedron, the number of vertices (), edges () and faces () always satisfy the equality . For example, a cube contains 8 vertices, 12 edges and 6 faces, and indeed, 8 – 12 + 6 = 2.

But if this formula is so simple, why did no one think of it earlier, especially when, as Richeson explains, people had been fascinated by polyhedra for millennia?

Hier kun je het hele stuk lezen (pdf).

Het is geen gemakkelijk boek. Het vereist niet meer voorkennis dan VWO-wiskunde, maar je moet wel echt je best doen om mee te denken. Maar als je doorzet leer je een boel: het boek vormt een goede balans tussen wiskundige gedachtegangen, historische feiten en subtiele historische ontwikkelingen. Onderweg leer je, aan de hand van de veelvlakkenformule van Euler, waar het vakgebied van de topologie nou eigenlijk over gaat en hoe het ontwikkeld is.

Voor scholieren of andere mensen die liever in het Nederlands lezen over veelvlakken: wiskundedocent De Leuw heeft op zijn website een toegankelijker stuk over veelvlakken gezet, met opgaven erbij, zie hier.