Wiskundemeisjes

De favoriete (nog levende!) wiskundige van... (27)

Hendrik Lenstra

Vorige maand koos Jeffrey Shallit voor Hendrik Lenstra als zijn favoriete (nog levende!) wiskundige. Dat vonden wij erg leuk: Hendrik Lenstra is namelijk een Leidse professor die wij bijna dagelijks zien. Over Hendrik Lenstra kun je dus al een boel lezen in ons vorige stukje. Dit leek ons een mooi moment om eens aan hem te vragen wie zijn favoriet nou eigenlijk is.

Stiekem wisten we al wel dat de beroemde Jean-Pierre Serre zijn favoriet is. Maar omdat Serre al genoemd is als favoriet van zowel Manjul Bhargava als Michael Atiyah, vonden we het leuker om over een andere favoriet van Lenstra te praten: Bjorn Poonen.

Bjorn Poonen

Bjorn Poonen is professor aan MIT. Hij doet vooral onderzoek in de getaltheorie en de algebraïsche meetkunde, maar heeft ook af en toe gepubliceerd over kansrekening en informatica. Hij studeerde aan Harvard en schreef daar een mooie scriptie bij John Tate. Daarna ging hij naar Berkeley, waar hij in 1994 bij Ken Ribet promoveerde.

Eigenschappen

De eerste eigenschap van Poonen die Lenstra bewondert is zijn slimheid. Maar, zoals Lenstra opmerkt: slimheid is geen zeldzame eigenschap. Er zijn verschillende manieren om om te gaan met slimheid. Wat vaak gebeurt is dat een slim persoon een succes behaalt op jonge leeftijd en daarna daarop voortzeilt, en dus ophoudt met het leren van echt nieuwe dingen. Dat is niet wat Poonen gedaan heeft.

In bijvoorbeeld de combinatoriek komt het vaak voor dat de problemen door iedereen te begrijpen zijn, maar dat alleen de echt slimme mensen ze oplossen. Zij zijn heel breed, ze hebben een geweldig arsenaal aan methoden tot hun beschikking, ze hebben een brede trucendoos. Dat is een heel andere manier van onderzoek doen dan veel andere topwiskundigen doen: zij gaan de diepte in, hebben `zitvlees', om het oneerbiedig te zeggen. Ze weten ontzettend veel van een heel klein gebiedje.

Lenstra bewondert mensen die beide componenten combineren, dus de slimheid en breedte hebben, maar ook hebben doorgeleerd. Een voorbeeld van zo'n wiskundige is Deligne, maar ook Poonen heeft duidelijk allebei die kanten, en dat vindt Lenstra ontzettend leuk. Poonen werkt aan problemen die iedereen kan begrijpen, maar slimheid alleen is niet voldoende om ze te kunnen oplossen: je moet ook veel theorie weten. Dat komt overeen met Lenstra's eigen voorkeur voor problemen die je wel makkelijk kunt uitleggen, maar waar een specialist voor nodig is om ze op te lossen.

De tweede eigenschap van Poonen die Lenstra bewondert is zijn luciditeit: als Poonen schrijft of praat, dan doet hij dat precies op die manier waarop je het zelf zou willen leren of begrijpen. Zelfs van heel moeilijke dingen geeft hij je het idee dat het een ontginbaar terrein is. Dat is een eigenschap die Serre ook heeft: als hij iets zegt, zegt hij het meteen op de `uiteindelijke manier', de manier waarop een nieuw stukje wiskunde uiteindelijk het beste uitgedrukt blijkt te kunnen worden. Als Lenstra bij een wiskundige voordracht zit, zijn er vaak dingen die hij niet begrijpt: dingen die niet kloppen, kleine inconsistenties. Als Poonen een voordracht geeft, zegt hij altijd alles precies in de goede volgorde, hij beantwoordt alle vragen al voor ze opkomen.

Verder is ook Poonens persoonlijkheid opvallend. Hij is heel stil en verlegen, maar voor een schoolbord transformeert hij volledig en heeft hij de hele zaal in zijn greep. Hij is dan echt de baas, maar is ook het tegendeel van agressief.

Poonen en Lenstra hebben nooit samen een artikel geschreven. Wel heeft Poonen eens een probleem opgelost dat Lenstra geponeerd had. Lenstra heeft hem meegemaakt als student en ze hebben samen een congres georganiseerd, waarbij Poonen verreweg het meeste werk deed. Poonen bleek toen te beschikken over veel tact, hij kan goed netelige problemen oplossen en knopen doorhakken. Hij is verlegen, maar heeft toch een grote beslistheid van optreden. Of iemand dat kan hangt volgens Lenstra ook samen met niveau: als je eenmaal een bepaald niveau overstegen bent, hoef je niet meer aardig te zijn tegen mensen alleen omdat ze eens aardig tegen jou geweest zijn. Daar hoef je je dan niets meer van aan te trekken.

Onderzoek

Poonen houdt zich bezig met polynomiale vergelijkingen en vooral zoekt hij geheeltallige of rationale oplossingen daarvan. Door deze eisen die aan de oplossingen worden opgelegd, kunnen makkelijke problemen nachtmerries worden, zoals Poonen zelf uitlegt: Such requirements add subtlety that can turn the simplest of problems into nightmares. For instance, it is obvious that the equation has infinitely many solutions in real numbers, but are there any solutions in which both and are rational numbers? (It turns out that there are none.)

Poonen werkt bovendien aan wat hij zelf wel eens de `dark side of number theory' noemt: het bewijzen van onbeslisbaarheidsresultaten, die een grens stellen aan wat berekenbaar is. Dat is niet mainstream in de getaltheorie. Poonen zoekt de beslisbaarheidsgrenzen op in de theorie van de Diophantische vergelijkingen. Het tiende Hilbertprobleem stelde de vraag: bestaat er een algoritme waarvan de input een systeem Diophantische vergelijkingen is, en de output het antwoord "ja" of "nee": is er een geheeltallige oplossing of niet? Dat zo'n algoritme niet bestaat werd bewezen door Matiyasevich in 1970. De vraag of een algoritme bestaat dat als output vertelt of zo'n stelsel vergelijkingen rationale oplossingen heeft is nog niet beantwoord, en dat is iets waar Poonen aan werkt. Hij denkt dat zo'n algoritme niet bestaat.

Dit onderwerp is niet populair in de getaltheorie, en dat is in zeker zin jammer, zegt Lenstra. Het ligt heel dicht bij de logica, maar het oplossen van dergelijke problemen is niet het werk van de logici. Zij komen aanzetten met het probleem, maar de ingrediënten van de oplossing moeten uit de getaltheorie komen. De hoeveelheid logica die in dergelijke vragen nodig is, is weinig en tamelijk naïef, qua hoeveelheid vergelijkbaar met de verzamelingenleer die je nodig hebt om algebra te kunnen doen. Je hoeft geen specialist te zijn in verzamelingenleer om algebra te kunnen doen, en zo hoef je ook geen specialist te zijn in logica om aan deze beslisbaarheidsproblemen te werken. Als de getaltheoretici het niet doen, doet niemand het. Volgens Lenstra is Poonens reden om aan deze problemen te werken dat heel veel mensen bezig zijn met het echt oplossen van Diophantische vergelijkingen, terwijl hij het ook heel verstandig vindt om te weten waar de grenzen liggen van wat je kunt doen. Wie meer wil weten over deze `dark side' kan het overzichtsartikel Undecidability in number theory van Poonen lezen.

Een overeenkomst ziet Lenstra in zijn eigen onderzoek: een van de onderwerpen waarmee hij zich bezighoudt is ook niet populair. Dat is het onderzoeken van de theoretische eigenschappen van getaltheoretische algoritmen, en het ontwikkelen van algoritmen die bepaalde theoretische eigenschappen hebben. De meeste mensen willen algoritmen gewoon in de praktijk laten werken. De terminologie van dit gebied is ontleend aan de theoretische informatica, maar theoretisch informatici hebben niet de achtergrond om dit soort problemen op te lossen. Eigenlijk zijn ze ondanks dat nog opvallend ver gekomen.

Samenvattend heeft Poonen dus dezelfde wiskundige smaak als Lenstra. Poonen doet vergelijkbare dingen als Lenstra, en hij doet ze beter, aldus Lenstra zelf. Bovendien is hij jonger, wat een geruststelling is: "Als je ouder wordt heb je vaak dingen wel gezien, maar je hebt minder tijd voor de dingen die je leuk vindt. Als jongere mensen het dan overnemen, is dat een geruststelling voor de toekomst!"