Wiskundemeisjes

Postzegel

Vroeger, toen ik een klein meisje was en nog niet eens een wiskundemeisje, verzamelde ik postzegels. Dat doe ik al tijden niet meer, maar een postzegel die ik wel graag zou willen hebben is de nieuwe postzegel met de beroemde Nederlandse wiskundige Brouwer erop. Morgen komt die postzegel uit en dan wordt het eerste boekje overhandigd aan Dirk van Dalen. Hij is professor geschiedenis van de logica en filosofie van de wiskunde. Ook is hij de biograaf van Brouwer. Hij heeft TNT post gevraagd om deze postzegel te maken.

L. E. J. Brouwer (1881-1966) is beroemd om twee heel verschillende wiskundige zaken. Aan het begin van zijn carrière hield hij zich bezig met topologie. Iedereen die een vak topologie gevolgd heeft, kent waarschijnlijk Brouwers "fixpuntstelling" wel. Die stelling zegt dat een continue functie van een bol naar zichzelf altijd minstens één punt op zichzelf afbeeldt. Dat geldt voor bollen in elke dimensie, ook groter dan 3.

Maar in Nederland is hij veel beroemder om zijn intuïtionisme. Brouwer had een andere opvatting over logica dan de meeste andere wiskundigen. Hieraan liggen zijn ideeën over wat wiskunde is ten grondslag. Zijn basisidee is dat wiskunde door mensen geconstrueerd wordt, op een bepaald moment. Er zit dus een tijdscomponent in de wiskunde. Een wiskundig object is er pas zodra je het kunt construeren, wat betekent dat je een recept moet kunnen geven hoe je zo'n object maakt.

Dat heeft tot gevolg dat een heleboel standaard-methodes niet meer werken. Een bewijs uit het ongerijmde kan niet meer. Als je bijvoorbeeld uit het ongerijmde bewijst dat een bepaald wiskundig object bestaat, dan doe je dat door aan te nemen dat het object niet bestaat en dan laat je zien dat daar een tegenspraak uit volgt. Maar zo'n bewijs geeft geen constructie van je object en is dus volgens Brouwers maatstaven geen bewijs.

Hetzelfde geldt voor de wet van uitgesloten derde. Die regel zegt dat voor elke bewering A geldt dat die bewering óf waar, óf niet waar is. In de gewone logica is dat een duidelijk ware regel. Maar voor Brouwer ligt dat anders. Een bewering A is voor Brouwer pas waar zodra er een bewijs voor A geconstrueerd is. En een bewering is niet waar zodra er een bewijs geconstrueerd is van het tegendeel. Maar als die bewijzen er allebei (nog) niet zijn, dan kun je dus niet zeggen dat de bewering waar of niet waar is, want op dat moment geldt dat allebei niet. Dat is wat de formule op de postzegel uitdrukt.

Voor wie geïnteresseerd is in het leven en werk van Brouwer: lees L.E.J. Brouwer, een biografie van Dirk van Dalen (Bert Bakker, 2001). Ook het boek Droeve snaar, vriend van mij (De Arbeiderspers, 1984) vond ik leuk. Dat boek bevat de briefwisseling tussen Brouwer en de socialistische dichter Adama van Scheltema.

(Jeanine)