Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Wiskunde is toepasbaar op vele gebieden van het leven, ook waar je het misschien niet direct verwacht. De liefde, bijvoorbeeld. Er zitten wiskundige ideeën achter de koppelalgoritmes van datingsites, en je kunt wiskundig modelleren wat voor cadeau je iemand moet geven die je zou willen versieren: iets dat jou veel moeite kost, maar waardeloos is voor de ander als hij of zij niet in jou, maar wel in materiële zaken geïnteresseerd is. Zoals een ingewikkeld, zelfgekookt diner voor twee.

Maar als je de liefde van je leven eenmaal gevonden hebt, kan de wiskunde dan nog wat toevoegen aan dit geluk?

Ik was vorige week op een feestje van een vriend en zijn vriendin, die tijdens het feest stralend vertelden dat ze stiekem getrouwd waren. Deze vriend is een wiskundige, en hij liet me zien dat het getal 220 in zijn trouwring stond. In de ring van zijn kersverse echtgenote stond ook een getal, voegde hij eraan toe, en ik kon natuurlijk zelf wel bedenken welk getal dat was!

Eerlijk gezegd houd ik niet zo van wiskundige uitdagingen op feestjes, maar een pas getrouwde vriend laat je natuurlijk niet in de steek. En een poosje later wist ik het: natuurlijk, de bruid heeft het getal 284 in haar ring staan! Nou moet ik toegeven dat ik dat niet ter plekke berekend had; blijkbaar ken ik meer getallenfeitjes dan ik dacht.

Want wat is er zo bijzonder aan de getallen 220 en 284? Het zijn bevriende getallen. Dat ze zo heten is niet een nieuwerwetse poging om getallen menselijker en hipper te maken dan men ze doorgaans vindt, de Pythagoreeërs kenden dit koppel al en spraken erover in termen van vriendschap. Een uitspraak die aan Pythagoras is toegeschreven luidt: “Wat is een vriend? Een ander ik, zoals gesymboliseerd wordt door de getallen 220 en 284.”

Juist... Maar waarom deze getallen? De delers van 220 zijn: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 en 220. Als je het getal 220 zelf niet meetelt en alle andere delers bij elkaar optelt, vind je het getal 284. Dat op zich is nog niet zo bijzonder. Maar als je hetzelfde doet voor 284, dan vind je 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220! Daarom zijn de getallen 220 en 284 bevriend. Dit is het kleinste koppel bevriende getallen dat er bestaat. Andere voorbeelden zijn 1184 en 1210; 2620 en 2924; 5020 en 5564. Wiskundigen vermoeden dat er oneindig veel van dit soort paren bestaan, maar dat is niet bewezen.

In verscheidene oude Arabische manuscripten duikt een magische toepassing van deze getallenfeitjes op. Als je een goede relatie met iemand wil aanknopen, moet je de getallen 220 en 284 op een briefje schrijven. Dat briefje scheur je doormidden, het deel met 220 eet je op en het deel met 284 meng je ongemerkt door het eten van de ander. Succes gegarandeerd, zeker als je ook nog rekening houdt met een gunstige positie van Venus! En goed te combineren met het aanbieden van een zelfgekookt diner.

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Hoe lang zal de kabinetsformatie nog duren? Ik besef dat ik een risico loop door hierover te schrijven. Er zitten een paar dagen tussen het schrijven van deze column en het verschijnen ervan, dus er is een kleine kans dat Rutte, Verhagen en Wilders precies daartussen in tot een akkoord komen. Het is altijd lastig om dit soort dingen te voorspellen. Mark Rutte zelf was rond de verkiezingen in juni nog ronduit optimistisch en hoopte voor 1 juli een kabinet gevormd te hebben. Inmiddels sleept de formatie alweer zo’n 100 dagen voort met een reeks mislukte pogingen, uitgelekte brieven en een stoet informateurs. Wanneer zal er eindelijk een nieuwe regering bij de koningin op het bordes staan?

In 1977 duurde de formatie maar liefst 208 dagen. Hier staat dan eindelijk het eerste Kabinet-Van Agt op het bordes bij Koningin Juliana.

Wiskundigen hebben een heel algemene truc om te voorspellen hoe lang iets nog zal duren. Het achterliggende idee is vrij eenvoudig. Als je iets op een willekeurig moment ziet, dan is er 95% kans dat je datgene tegenkomt in de middelste 95% van zijn totale levensduur. Helemaal aan het begin van dat interval van 95% neem het verleden 2,5 % in en de toekomst 97,5%. De toekomst is dan dus 39 keer zo lang als het verleden. Aan het einde van het interval is het precies omgekeerd en is de toekomst nog maar 1/39ste deel van het verleden.

John Richard Gott III stelde voor om dit principe te gebruiken om te voorspellen hoe lang iets nog zal duren. Als je iets ziet dat al X jaar bestaat, dan is volgens het bovenstaande de kans 95% dat het nog tussen de X/39 en X*39 jaren zal blijven bestaan. Snel twee voorbeelden voor wie de draad helemaal kwijt is.

De Universiteit Leiden bestaat 435 jaar en de regel van Gott voorspelt dat er 95% kans is dat de oudste universiteit van Nederland er nog tussen de 11 en 16965 jaar zal zijn. De kans dat de universiteit voor 2021 haar poorten sluit is dus maar 2,5%.

De Volkskrant werd in 1919 opgericht, en de regel voorspelt dat de krant zeer waarschijnlijk nog tussen de 2 en 3549 jaren zal doorgaan.

Gotts regel lijkt een wonder: bijna vanuit het niets geeft hij heel sterke voorspellingen. Maar de regel is onder wiskundigen net zo omstreden als samenwerken met de PVV binnen het CDA. Het is duidelijk dat je de regel niet overal kunt toepassen. Mijn oma van 84 zou bijvoorbeeld 95% kans hebben om nog tussen de 2 en 3276 jaar te leven. In werkelijkheid is de kans dat ze nog meer dan 50 jaar zal leven precies 0%. Bij dingen met een (biologische) bovengrens aan de levensduur werkt de regel dus niet. En het is niet duidelijk voor welke processen hij wel goed is.

Laten we de regel toch eens toepassen op de formatie. Hij voorspelt hier dat er 95% kans is dat die nog tussen de 2 en 3900 dagen zal duren. Er is dus maar een kleine kans dat de formatie rond is voor deze column gedrukt wordt en een net zo kleine kans dat we over tien jaar nog steeds een demissionair kabinet onder Balkenende hebben.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Vorige week was het zover. Honderden brugklassers liepen totaal verregend hun nieuwe school in, de docenten praatten met een kop koffie en een gebakje bij over de vakantie, de nieuwe collega's werden voorgesteld, iedereen bracht zijn kasten en mappen op orde en probeerde zo snel mogelijk alle namen te leren. Mijn eerste begin van een schooljaar in een nieuwe rol: die van docent.

Ik gaf voor de zomervakantie al een paar maanden les, maar toen begon ik midden in het schooljaar, in twee klassen die al gewend waren aan de manier van werken van mijn voorgangers. "Ja, maar bij mevrouw X deden we altijd…" en "Ja, maar meneer Y zei altijd…", dat idee. "En we kregen helemaal nooit huiswerk, en we mochten altijd alles!" Tuurlijk.

De reacties uit de universitaire wereld, waar ik ook nog steeds werk, zijn divers. Iedereen vindt dat er meer academici voor de klas moeten, want om leerlingen te motiveren voor een academische studie is het goed om een rolmodel te hebben, een docent die weet hoe het eraan toe gaat op de universiteit. Sommige professoren reageren dan ook met: “Wat goed dat je het onderwijs in gaat!” Maar er zijn er ook die eigenlijk stiekem (of minder stiekem) vinden dat het carrière-technisch een niet zo slimme keuze is om voor het onderwijs te kiezen en dat ik me beter zou kunnen concentreren op het vinden van een uitdagende onderzoeksbaan (lees: tijdelijk, in het buitenland, en zonder perspectief op wat voor vaste aanstelling dan ook als je weer terugkomt).

Om voor de klas te staan, moet je natuurlijk een lesbevoegdheid halen. Ook dat wordt vanuit de onderzoekswereld soms wat sceptisch bekeken: we geven toch allemaal colleges aan studenten, zonder enige didactische opleiding, en dat gaat prima! Meestal wel, inderdaad. Maar niet bij iedereen. Daarom is ook voor beginnende docenten aan de universiteit het behalen van een basiskwalificatie onderwijs tegenwoordig verplicht. Bovendien is er, zoals ik inmiddels gemerkt heb, een behoorlijk verschil tussen het onderwijs aan leerlingen van een jaar of veertien en dat aan gemotiveerde wiskundestudenten van achttien of ouder (die je bovendien, als ze een keertje niet gemotiveerd zijn, lekker naar huis kunt sturen).

Ik vind de colleges vakdidactiek op de lerarenopleiding dan ook leuk en nuttig. We bespreken hoe je de juiste vragen kunt stellen, zodat een leerling zelf bedenkt hoe hij iets kan oplossen en waarom dat werkt. Ook misconcepties komen aan de orde: wat voor onverwachts kan er gebeuren in het hoofd van een leerling? Een voorbeeld: als je x=3 moet invullen in de formule 2x²+6, moet je onthouden hebben dat tussen de 2 en de x eigenlijk een vermenigvuldigingspunt stond, en dat je dus 2·3²+6 = 2·9+6 = 24 krijgt, en niet 23²+6 = 535.

Zoveel mogelijk anticiperen, altijd creatief blijven, je proberen in te leven in de gedachtewereld van de leerling en de juiste vraag stellen. En dan, af en toe: een blik van verheldering. “O, maar eigenlijk is het dus helemaal niet zo moeilijk!” Daar doe je het voor, als docent.

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant. Op deze blog heb ik trouwens al vaker over kettingbreuken geschreven

“Waarom schrijf je nooit eens een column over je eigen onderzoek?”, vroeg mijn promotor de week voor de verdediging van mijn proefschrift. De afgelopen jaren stond een groot deel van mijn leven in het teken van kettingbreuken, het onderwerp van mijn promotie-onderzoek. Dat onderzoek viel me soms zwaar, het was traag en eenzaam werk. En als ik dan eindelijk een nieuw resultaat bewezen had, dan kon ik aan bijna niemand uitleggen wat ik had bereikt. Daarom schreef ik hier liever over andere, meer toegankelijke onderwerpen.

Inmiddels heb ik mijn proefschrift met succes verdedigd en de komende jaren zal ik waarschijnlijk geen zwaar theoretisch wiskundig onderzoek meer doen. En nu besef ik ineens wat ik ga missen: samen met enthousiaste collega’s voor een schoolbord een nieuw idee uitwerken, op de fiets naar huis ineens begrijpen hoe het bewijs moet lopen en het gevoel van ultieme triomf als alle details keurig op hun plaats schuiven. Daarom deze week een stukje over die kettingbreuken waar ik jaren aan werkte. Omdat ik ze stiekem nu al een beetje mis.

Ceci n'est pas une kettingbreuk

Allereerst: een kettingbreuk heeft niets te maken met gestrande wielrenners of vastgelopen machines. Het is in feite een ketting van breuken: een breuk in een breuk in een breuk (enzovoorts), zie het plaatje hieronder voor de kettingbreuk van pi. Elk getal kun je schrijven als een kettingbreuk. Voor breuken krijg je een eindige kettingbreuk. Voor getallen die zelf geen breuk zijn, zoals pi, is de bijbehorende kettingbreuk oneindig lang.

Als je zo’n oneindige kettingbreuk afkapt door het onderste stuk vanaf een zeker punt weg te laten, krijg je een gewone breuk. Op die manier kun je oneindige reeks benaderingsbreuken voor je oorspronkelijke getal vinden. Neem bijvoorbeeld de kettingbreuk van pi. Als je alles onder de 7 vergeet, dan krijg je 3 + 1/7, oftewel 22/7, een benadering van pi die vroeger vaak op school werd gebruikt. De volgende benadering krijg je door alles na 15 te vergeten: dit geeft 333/106. En door nog één term verder te gaan, vind je 355/113. Die laatste breuk is ongeveer 3,14159292 en benadert pi tot op maar liefst zes decimalen. Deze benadering is zo goed, dat geen enkele breuk met noemer kleiner dan 16604 dichter bij π ligt. De Chinese wiskundige Chong Zhi berekende deze goede benadering voor pi trouwens al rond 480 na Christus, maar hij deed dat zonder kettingbreuken.

Goede benaderingen zijn breuken met een kleine noemer die heel dicht bij het oorspronkelijke getal liggen. En zulke benaderingen worden precies gevonden met kettingbreuken. Kettingbreuken hebben allerlei toepassingen, maar dat is niet de reden dat ik ze jarenlang bestudeerd heb. Ik werkte aan een generalisatie van de kettingbreuken en probeerde daarmee heel algemene eigenschappen te bewijzen. Ik wilde bijvoorbeeld weten hoeveel benaderingen je achter elkaar moet nemen om zeker te weten dat er een heel goede tussen zit. Als zo’n algemeen bewijs na lang zwoegen lukte, dan vielen een heleboel puzzelstukjes op hun plaats en was ik even het gelukkigste wiskundemeisje op aarde.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

In sommige opzichten voldoen de wiskundemeisjes wel aan het vrouwelijke stereotype. We houden namelijk niet van voetbal. En dat is geen pretje tijdens een WK. Mijn vriend vindt voetbal kijken wél leuk, dus ik heb al meer voetbal gezien dan me lief is. Ik vroeg me af of er wiskundig nog iets interessants te vertellen is over voetbal, en dan liefst zonder over de puntenverdeling en winkansen te gaan praten.

Waar draait het hele spelletje nou eigenlijk om? Om de bal. En die bal zelf is wel een leuk object. De gewone voetbal bedoel ik dan, en niet die hippe Jabulani die op het WK gebruikt wordt.

De ouderwetse voetbal bestaat uit twintig witte zeshoeken en twaalf zwarte vijfhoeken. Hij lijkt op een veelvlak, maar is het niet helemaal omdat de zijvlakken niet plat maar bol zijn. Als we dat voor het gemak even vergeten, behoort de voetbal tot de zogenaamde Archimedische veelvlakken.

Een Archimedisch veelvlak is een drie-dimensionaal object dat bestaat uit een aantal regelmatige veelhoeken (in ons geval regelmatige vijf- en zeshoeken) waarvoor nog wat extra eisen gelden: alle hoekpunten liggen op een bol, en elk hoekpunt ziet er hetzelfde uit in de zin dat in elk hoekpunt evenveel en dezelfde veelhoeken in dezelfde volgorde bij elkaar komen. Op een voetbal komen in elk hoekpunt twee zeshoeken en één vijfhoek bij elkaar. De laatste eis is dat het object geen prisma of anti-prisma is, maar wat dat precies betekent is niet zo belangrijk.

Voor de bekendere Platonische veelvlakken geldt die laatste eis niet, maar daarvoor is nodig dat de zijvlakken allemaal precies hetzelfde zijn. Voorbeelden zijn de kubus of de zogenaamde icosaëder. Een icosaëder, ofwel regelmatig twintigvlak, bestaat uit twintig gelijkzijdige driehoekjes.

Die icosaëder heeft ook iets te maken met de voetbal. Als je een icosaëder neemt en er bij elk hoekpunt een stukje van afzaagt op één-derde van de oorspronkelijke ribben, dan krijg je een voetbal. Daarom heet het veelvlak dat op een voetbal lijkt ook wel een afgeknotte icosaëder.

Toen ik mijn leerlingen laatst vroeg symmetrische objecten te noemen, kwamen ze al snel met de voetbal. Maar hoe een voetbal precies symmetrisch is, is nog niet zo makkelijk uit te leggen. Wiskundigen vinden een object symmetrisch als je het kunt draaien, spiegelen, verplaatsen of een combinatie daarvan, maar het daarna lijkt alsof er niets gebeurd is. Een vlinder of de letter A bijvoorbeeld kun je spiegelen, en daarna ziet hij er hetzelfde uit. Een kubus kun je ook nog draaien om een aantal assen.

Voor een voetbal zijn er maar liefst 120 draaiingen, spiegelingen of combinaties daarvan die je kunt toepassen waarna de voetbal weer precies in dezelfde positie terugkomt. We zeggen dan: de voetbal heeft 120 symmetrieën.

Tot zover de feitjes, en dit alles met maar één doel. Als u intelligent uit de hoek wilt komen tijdens het voetbal kijken, maar niet weet wat buitenspel betekent, kunt u voortaan zeggen: “Maar ik weet tenminste wel dat een gewone voetbal een afgeknotte icosaëder is met 120 symmetrieën!”

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Een paar weken geleden vroeg ik aan een zwangere vriendin wanneer ze uitgerekend was. Ze grapte dat het nog veel leuker zou zijn om aan een wiskundemeisje te kunnen vragen wanneer zij uitgerekend was. Op dat moment wist ik zelf nét dat ik zwanger was, dus ik glimlachte en antwoordde maar even niet. Inmiddels wordt mijn buik langzaam boller en kan ik van de daken schreeuwen dat ik in november ben uitgerekend.

De komende maanden gaan mijn vriend en ik rustig de babykamer inrichten. De lijst van wat je allemaal nodig hebt voor een baby is angstaanjagend (om over de gedachte aan de bevalling nog maar te zwijgen). Eén van de dingen die me verbaasde waren de steeds genoemde kruikjes. Waarom heeft een baby een kruikje nodig? Het is toch lekker warm onder een dekentje, ook zonder een fles met warm water?

Voorbeeld van een zeer tevreden slapende baby. Het is niet bekend of er een kruikje onder de deken ligt.

Een dag later schoot het juiste antwoord me te binnen: baby’s koelen natuurlijk veel sneller af dan volwassenen, omdat ze in verhouding een veel groter huidoppervlak hebben dan wij. Dat komt doordat bij groei het volume sterker toeneemt dan het oppervlak.

Denk om het makkelijker te maken even aan een kubus (met excuses aan mijn toekomstige baby, die hopelijk meer op zijn vader lijkt dan op een kubus). Vergelijk een kleine kubus met zijden van één centimeter met een iets grotere kubus met zijden van tien centimeter. De kleine kubus heeft zes zijvlakken met elk een oppervlakte van één vierkante centimeter, in totaal dus een oppervlakte van zes vierkante centimeter. Vanzelfsprekend is de inhoud één kubieke centimeter. De grote kubus heeft een totale oppervlakte van zeshonderd vierkant centimeter en een inhoud van duizend kubieke centimeter.

De grote kubus heeft dus honderd keer zoveel oppervlakte als de kleine en maar liefst duizend keer zoveel inhoud. Dat betekent dat de kleine kubus in verhouding tien keer meer oppervlakte heeft. Natuurlijk komt dit doordat oppervlakte kwadratisch groeit bij het vergroten van de zijden en de inhoud met een derde macht. Ook voor andere vormen dan kubussen zullen kleine voorwerpen in verhouding meer oppervlak hebben dan grote.

Voorbeeld van een groot voorwerp.

Dit verschil tussen groot en klein verklaart allerlei verschijnselen in het dierenrijk. Zoogdieren raken warmte kwijt via hun huid en kleine dieren hebben in verhouding meer huid. Daardoor koelen ze makkelijker af dan grote dieren. Muizen en andere kleine knaagdieren raken zo makkelijk warmte kwijt, dat ze niet kunnen overleven in koude klimaten. Heel grote dieren hebben juist weer het probleem dat ze te weinig huid hebben om alle warmte kwijt te raken. Olifanten hebben hun enorme oren dan ook niet om beter mee te horen, maar om dankzij de extra huid meer warmte kwijt te raken.

Maar terug naar mensen: baby’s koelen met hun relatief grote, naar babylotion ruikende, huidoppervlak snel af. Kortom: ik ga maar eens op zoek naar lieve kruikjes. En luiers. En een bedje.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Patronen en regelmaat vinden, dat vinden wiskundigen leuk. Maar een patroon of trucje waarvan je vermoedt dat het opgaat, is eigenlijk pas interessant als je kan bewijzen dat het in alle gevallen geldt.

Het voorbeeld dat ik hier geef, behandelt een manier om te zien of een getal deelbaar is door 3.

Op de basisschool leerde ik daar een trucje voor: een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. En inderdaad: het getal 456 is deelbaar door 3 en de cijfersom 4+5+6 = 15 ook; het getal 1234 is niet deelbaar door 3 en 1+2+3+4=10 ook niet. Het sterke aan dit trucje is dat het voor alle getallen geldt.

Dit trucje lijkt iets magisch! Iets dat uit de lucht komt vallen, handig is, en dat je gewoon moet onthouden. Maar hoe komt het nou eigenlijk dat het trucje werkt? Daar kwam ik pas veel later achter.

De reden is dat we rekenen in het 10-tallig stelsel. Als we een getal opschrijven, bijvoorbeeld weer 1234, dan bedoelen we eigenlijk: 1 duizendtal, 2 honderdtallen, 3 tientallen en 4 eenheden. Oftewel: 1234 = 1∙1000 + 2∙100 + 3∙10 + 4. De positie van een cijfer in het getal bepaalt dus met welke macht van tien je het moet vermenigvuldigen.

Maar wat heeft dat met het trucje voor deelbaarheid door 3 te maken? De crux ligt hier. De som van de cijfers van een getal heeft een mooie eigenschap, namelijk: deze cijfersom verschilt altijd precies een 3-voud van het getal zelf! In het voorbeeld: 1234 en 10 verschillen 1224, en 1224 = 3 ∙ 408.

We gaan verder met 1234. De som van de cijfers is 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Het verschil tussen 1234 en 10 kunnen we dus schrijven als: 1234 – 10 = 1000 + 200 + 30 + 4 – (1 + 2 + 3 + 4), wat we handig kunnen ordenen als 1000 – 1 + 200 – 2 + 30 – 3 + 4 – 4. Dit is gelijk aan 1∙999 + 2∙99 + 3∙9, want 1000 – 1 = 999 en 200 – 2 = 2∙99 en 30 – 3 = 3∙9. Omdat zowel 999 als 99 en 9 deelbaar door 3 zijn, is het getal 1∙999 + 2∙99 + 3∙9 deelbaar door 3.

Hetzelfde argument, inclusief het handig ordenen, werkt voor elk ander getal dan 1234. Het verschil tussen een getal en zijn cijfersom is altijd de som van een aantal keren 9, 99, 999 en 9999, enzovoorts, die allemaal deelbaar door 3 zijn. (En door 9, wat de reden is dat het trucje voor deelbaarheid door 9 hetzelfde werkt.)

Kortom: de som van de cijfers van een getal verschilt een 3-voud van het getal zelf. En als het getal deelbaar is door 3, is de som van de cijfers dat dus ook.

Ik vind dit een mooi voorbeeld van wat wiskundigen vaak doen: bewijzen dat bepaalde handige trucjes of patronen voor alle getallen gelden, door een onweerlegbaar argument te geven. Dat is de kracht van wiskunde!

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Mijn vriendin Cristel studeerde geschiedenis met als specialisatie achttiende-eeuwse dagboeken. Op feestjes belandt ze steevast naast iemand die werkelijk alles weet van de Peloponnesische oorlog. Als zo iemand hoort dat zij een historica is, dan verwacht hij dat ze daar uren met hem over kan praten. Cristel vindt het dan altijd een beetje gênant om toe te moeten geven dat zij helemaal niets weet van de Peloponnesische oorlog.

Als wiskundige kom je bijna nooit in zulke situaties, omdat de meeste mensen bij wiskunde niet verder komen dan de stelling van Pythagoras. Daarom was ik zo verbaasd toen iemand laatst op een borrel aan me vroeg hoe het zat met het vermoeden van Collatz.

Ik wist gelukkig wel wat het vermoeden van Collatz was. Het gaat over reeksen getallen. Je begint met een willekeurig geheel getal, groter dan nul. Als het getal even is, dan deel je het door twee. Als het getal oneven is, dan vermenigvuldig je het met drie en tel je er één bij op. Daarna herhaal je dit proces met de uitkomst, en opnieuw, en opnieuw.

Bijvoorbeeld:

6 -> 3 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

of

13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.

Het resultaat als je begint bij 6, 9 of 42.

Je stopt bij één, omdat je vanaf daar in een vicieuze cirkel belandt: één gaat immers naar vier en dan via twee weer terug naar één. Het vermoeden van Collatz is dat je altijd op één uitkomt, met welk getal je ook begint.

Probeer het zelf maar eens voor je lievelingsgetal. Als je getal kleiner is dan 10^18 dan kom je zeker op één uit, tot die grens is het vermoeden met de computer getest. Het aantal stappen kan behoorlijk groot worden: als je begint met een bescheiden 27 heb je bijvoorbeeld al 112 stappen nodig voor je bij 1 eindigt.

De meeste wiskundigen denken dat het vermoeden van Collatz waar is en dat je inderdaad voor elk getal bij één zult eindigen. Maar niemand heeft een bewijs. De in 1996 overleden wiskundige Paul Erdös verzuchtte volgens de overlevering dat de wiskunde nog niet klaar was voor dit soort moeilijke problemen. Voor de zekerheid loofde hij toch maar 500 dollar uit voor een oplossing. Die oplossing is er nog steeds niet.

Dit alles vertelde ik op de borrel. De getallenvoorbeelden zocht ik snel op met mijn telefoon, iets wat ik ook van harte aanraad bij lastige vragen over Peloponnesische oorlogen. De vragensteller keek me wat teleurgesteld aan. Dus dit kunnen wiskundigen níet oplossen? Wat zitten jullie dan de hele dag achter jullie bureaus te doen? En wat kunnen jullie wel?

Het is misschien gênant om een vraag te krijgen over een onderwerp waarvan je nog nooit hebt gehoord. Maar het is nog veel gênanter om toe te moeten geven dat jij en je vakgenoten een ogenschijnlijk eenvoudig probleem niet kunnen oplossen.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Wiskundemeisjes houden niet alleen van formules, maar ook van verhelderende plaatjes. Een van de simpelste visualisaties in de wiskunde is het zogenaamde Venn-diagram. U heeft er vast wel eens eentje gezien: een Venn-diagram ziet eruit als een aantal cirkels (of eventueel andersvormige blobs) die elkaar gedeeltelijk overlappen.

Zo’n cirkel stelt een verzameling objecten met een bepaalde eigenschap voor, een andere cirkel een verzameling objecten met een andere eigenschap, en in de overlap zitten alle objecten die zowel de ene als de andere eigenschap hebben. Bijvoorbeeld: één cirkel stelt de verzameling fietsen voor en een andere cirkel de verzameling van alle rode dingen. Het stukje overlap stelt dan de verzameling van alle rode fietsen voor, dat zijn namelijk de objecten die in allebei de cirkels thuishoren.

In de verzamelingenleer, een abstracte theorie die ten grondslag ligt aan eigenlijk alle wiskundige principes, heet zo’n overlap de doorsnede.

Toevallig kwam ik afgelopen week drie keer een Venn-diagram tegen in een andere context dan wiskunde. Het eerste was het saaiste, dat stond in mijn leerboek Effectief leren (jawel, dit wiskundemeisje studeert aan de lerarenopleiding).

Bij het bespreken van de zogenaamde meervoudige intelligenties werd ons, de docenten-in-spe die op al die soorten intelligenties moeten kunnen inspelen, de volgende tip gegeven: “Het is mogelijk voor leerlingen die sterk visueel-ruimtelijk georganiseerd zijn om niet alleen tabellen te maken maar ook te werken met visuele indelingsschema’s.” Als leerlingen een lijst verschijnselen die voorkomen in de stad of op het platteland moeten ordenen, kunnen ze dat bijvoorbeeld doen met een Venn-diagram. In de ene cirkel moeten ze dan kenmerken van de stad zetten, in de andere die van het platteland, en in de overlap komen de kenmerken die voor allebei gelden.

Ik moet toegeven dat op die manier nadenken voor mijzelf best goed werkt, en dat ik wel houd van visuele ordeningen. Het ziet er ook zo vrolijk uit, zo’n tekening in je schrift, zeker als je leuke kleurtjes gebruikt.

Daarna kwam ik een Venn-diagram tegen in het boek Bad influence van William Sutcliffe (een aanrader!). De tien-jarige hoofdpersoon beschrijft het gedrag van zijn zus Rachel en haar beste vriendin Lucy met een Venn-diagram: Lucy en Rachel zijn allebei grote cirkels met een héél grote overlap, en everyone else in the universe staat in een heel klein cirkeltje daarnaast, helemaal los van Rachel en Lucy.

Dit plaatje komt van Scheikundejongens.nl.

Het derde Venn-diagram vond ik (hoe kan het anders) op internet, waar een heleboel grappige Venn-diagrammen te vinden zijn. Dit diagram geeft de verschillende nerd-achtige types aan die er bestaan. Er zijn drie cirkels: obsessie, sociale onhandigheid en intelligentie. Als je obsessief en intelligent bent, ben je een geek; ben je sociaal onhandig en obsessief, dan ben je een dork; en de doorsnede tussen sociaal onhandige en intelligente mensen bestaat uit dweebs. Als je alle drie de eigenschappen bezit ben je een echte nerd.

Ik begon toen te vrezen dat de doorsnede tussen de mensen die het gebruik van Venn-diagrammen in de gewone wereld leuk vinden en nerds ook tamelijk groot is.

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Als kind ging ik elk voorjaar met mijn ouders naar de jaarlijkse veiling-voor-het-goede-doel in ons dorp. Steevast koos mijn vader iets raars uit de veilingcatalogus en bood daar fanatiek op. Het geveilde voorwerp leek hem minder uit te maken dan het spel van het bieden. Soms werd hij zo meegesleept dat hij een klein fortuin neerlegde voor een middeleeuws ganzenbordspel. Als volwassene ben ik nooit meer naar een veiling geweest. Ik lijk namelijk best veel op mijn vader en ben bang dat ik in een opwelling een klein jacht zou kopen.

Vijfhonderd! Ik hoor vijfhonderd. Vijfhonderd voor die meneer daar, wie biedt er meer?

Op zich is het heel eenvoudig om de beste strategie te bepalen voor een “gewone” veiling per opbod: je bepaalt vooraf hoeveel je maximaal wilt uitgeven. Tot dat bedrag bied je mee. Als de andere bieders eerder afhaken, ga je er met een koopje vandoor.

Er zijn allerlei verschillende soorten veilingen met elk hun eigen regels. Bij de bloemenveiling loopt de prijs bijvoorbeeld juist van hoog naar laag. Ook interessant zijn gesloten-bod-veilingen. Hier komen de verschillende bieders niet fysiek bij elkaar, maar geven ze elk eenmalig aan de verkoper door wat hun bod is. De bieders weten niet wat de andere partijen bieden: vandaar de naam gesloten-bod-veiling. In dit geval is het slim om minder te bieden dan dat je echt voor het geveilde overhebt. Als jij het geveilde veel meer waard vindt dan de anderen, dan zul je namelijk flink overbieden. Bij een gewone veiling gebeurt dat nooit, omdat je daar ziet wanneer de andere bieders afhaken.

In Columbia worden bezittingen van belastingovertreders met een gesloten-bod-veiling verkocht.

Kun je als veilingmeester een gesloten-bod-veiling organiseren waarbij het voor elke bieder het slimste is om precies te bieden wat hij het geveilde waard vindt? Zodat je zeker weet dat degene wint die het voorwerp het liefste wil hebben? Dat kan met een tamelijk verrassende opzet. Weer doen alle bieders een gesloten bod en de hoogste bieder wint. Tot zover niets aan de hand. Maar de winnaar betaalt niet zijn eigen bod, maar dat van de één-na-hoogste-bieder. Dit systeem heet een Vickrey-veiling.

In dit geval zal een bieder nooit te veel betalen als de anderen het voorwerp flink lager waarderen. Hij betaalt immers het één-na-hoogste bod. Het is nu voor elke bieder onverstandig om lager te bieden dan wat hij overheeft voor het geveilde en het risico te lopen om de veiling net te verliezen. Het heeft ook geen zin om méér te bieden en misschien te veel te moeten betalen. De beste strategie is eerlijk bieden.

Vickrey-veilingen worden onder andere gebruikt bij het veilen van postzegels en kermisstandplaatsen. Maar het bekendste is de variant die de online-veiling eBay gebruikt. Daar betaalt de winnaar het bod van de één-na-hoogste bieder plus een kleine ophoging. Heel elegant. En ik zag dat je er ook op jachten kunt bieden...