Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen zaterdag in de Volkskrant.

Wiskunde tegenkomen in oude, verdwenen culturen is fascinerend. De wiskunde van de Babyloniërs in het oude Mesopotamië, bijvoorbeeld, is heel interessant. Mesopotamië lag ongeveer in het huidige Irak, en onder “Babyloniërs” verstaan we een hele serie volkeren in dat gebied, zo tussen 3000 en 500 voor Christus.

Het fijne aan de Babyloniërs is dat ze schreven op duurzaam materiaal: kleitabletten. Die kunnen we lezen, als we de taal en het spijkerschrift snappen, tenminste. Maar Babylonische getallen zijn zelfs voor een leek makkelijk te ontcijferen.

Op het plaatje staat een transcriptie van een kleitablet. In de middelste kolom staat een rij symbolen: één spijkertje op de eerste regel, twee spijkertjes op de tweede, enzovoorts. In die kolom staan inderdaad de getallen 1, 2, 3, 4, 5, …. Na de negen verschijnt een nieuw symbool, een soort winkelhaakje, dat blijkbaar voor de tien staat.

Wat staat er in de derde kolom? Naast de 1 staat 5, en naast de 2 staat 10. Naast de 3 staan een 10 en een 5, dat zal dan wel 15 betekenen. Deze regelmaat vervolgt zich, en het is duidelijk wat hier staat: de tafel van vijf. Dat clustertje tekens vooraan elke regel betekent “keer”.

Bij vijf keer twaalf gebeurt er iets geks: de uitkomst is 1 spijker, wat, zagen we al, één betekent. Maar vijf keer twaalf is zestig! Blijkbaar betekent een spijker behalve één ook zestig. Wat onhandig, denk u misschien. Aan de andere kant: wij gebruiken een 1 ook op verschillende manieren, in het getal 123 betekent de 1 dat er één honderdtal is.

Net als wij kenden de Babyloniërs een zogenaamd positiestelsel. De plaats van een cijfer in een getal bepaalt hoeveel het cijfer waard is. De Babyloniërs gebruikten als grondtal zestig, waar wij tien gebruiken. Als zij met hun spijkerschrift 2; 15; 51 opschreven, bedoelden ze 2 keer 3600 (want 60 × 60 = 3600), 15 keer zestig en 51 keer één.

Of misschien wel 2 zestigen, 15 enen en 51 zestigsten! Want er is een belangrijk verschil: ze hadden geen komma en heel lang ook geen symbool voor een lege plaats. Wij zien door nullen, die eigenlijk lege plekken aangeven, makkelijk het verschil tussen 100 en 1. En dat we met 0,1 een tiende bedoelen, zien we aan de komma. De Babyloniërs niet. Meestal was dat niet zo’n probleem, want uit de context bleek vaak wel wat er bedoeld werd.

Een voordeel van een positiestelsel is dat je er makkelijk in kan rekenen door getallen onder elkaar te zetten. De Babyloniërs konden overigens veel meer dan rekenen alleen, zo kenden ze de stelling van Pythagoras en losten ze bepaalde kwadratische vergelijkingen op.

Een Babylonisch kleitablet met een goede benadering van erop.

Het getalstelsel van de Babyloniërs is helaas in onbruik geraakt en er doken veel onhandigere getalstelsels op, zoals de Romeinse cijfers. Probeer die maar eens onder elkaar te vermenigvuldigen… Pas in de dertiende eeuw kwam een Indiaas positiestelsel via de Arabische wereld onze kant op, en werd het rekenen hier makkelijk. Wat we wèl overgehouden hebben aan de Babyloniërs, is onze zestigtallige tijdrekening.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

We krijgen meer post van lezers dan we kunnen beantwoorden. Daarom deze keer antwoord op een aantal veelgestelde vragen.

Weten jullie een leuk onderwerp voor mijn profielwerkstuk?
Natuurlijk, maar het is beter als je zelf iets verzint. Kies een willekeurig onderwerp dat je superleuk vindt en zoek de wiskunde daarbij. Als je bijvoorbeeld heel erg van Lady Gaga houdt, onderzoek dan of er een formule is die de perfecte hit voorspelt en zo ja, of Gaga’s knaller Born this way daaraan voldoet. Als je van voetbal houdt, kun je berekenen wat de perfecte hoek is om een strafschop te nemen.

Ik heb een koffer met een cijferslot van drie cijfers van 0 tot en met 9. Ik ben de code vergeten. Kunnen jullie een lijst geven van alle mogelijkheden die ik moet proberen? Of zijn dat er oneindig veel?
Het slechte nieuws is dat we geen lijst gaan geven, het goede nieuws is dat er maar duizend mogelijkheden zijn. Begin bij 000, ga door naar 001 en zo steeds één verder tot je bij 999 bent. Als je een beetje doorwerkt, kun je in een paar uur alle mogelijkheden proberen.

Mijn dochter is dol op wiskunde, maar weet niet wat ze er later mee kan doen. Is het wel slim voor haar wiskunde te studeren?
Ja, afgestudeerde wiskundigen hebben de laagste werkeloosheid en werken in alle hoeken en gaten van de maatschappij. Wij hebben in elk geval nooit spijt gehad van onze studiekeuze.

Wat is de kans dat ik win met de hamsterbingo/lotto/staatsloterij?
Heel erg klein. Begin er niet aan.

Hoeveel boodschappen moet ik kopen voordat ik alle superdieren/voetbalkaartjes compleet heb?
Heel erg veel. Begin er niet aan.

Willen jullie mijn wiskundig bewijs lezen?
Het lezen van een bewijs kost vaak net zo veel tijd als het maken ervan. Wij hebben helaas geen tijd om allerlei bewijzen door te ploegen. Gelukkig is er een prima systeem om nieuwe resultaten te beoordelen en verspreiden: wetenschappelijke tijdschriften. Maak daarom vooral een artikel van je bewijs en stuur het op.

Kan ik de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel toepassen om te laten zien dat er gaten in de wet zijn?
Nee, nee en nog eens nee. De stelling van Gödel zegt weliswaar dat er in een consistent systeem altijd beweringen bestaan die wel waar zijn, maar niet binnen dat systeem te bewijzen. Maar die stelling geldt voor formele systemen die de rekenkunde omvatten en met de regels van de logica werken. Je mag dit resultaat dus niet zomaar veralgemeniseren naar andere vakgebieden als rechten.

Hoeveel sudoku’s zijn er?
6.670.903.752.021.072.936.960.

Ik las een paar maanden geleden een leuke column van jullie, maar ik kan hem nergens vinden op internet. Kunnen jullie mij de tekst sturen?
Al onze columns staan op deze site, vaak met reacties van andere lezers.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Op de lerarenopleiding moest ik een puzzel uit de experimentele psychologie oplossen. Stel, er liggen vier kaartjes op tafel. Elk kaartje heeft aan de ene kant een letter en aan de andere kant een cijfer. Op de kanten die je kunt zien, staan een A, een B, een 4 en een 7. Vervolgens beweert iemand: “Voor deze vier kaartjes geldt: als er aan de ene kant een klinker staat, staat aan de andere kant een even getal”. Welke kaartjes moet je minstens omdraaien om zeker te weten of de bewering klopt?

Denk eerst even goed na voor u verder leest!

Deze vraag werd in 1966 bedacht door cognitief psycholoog Peter Wason en hij ontdekte dat nog geen tien procent van de mensen het antwoord goed had. In mijn groep docenten in opleiding hadden gelukkig wel wat meer mensen het goed, en de wiskundigen wisten het allemaal meteen. Niet zo gek ook, want die zijn gewend aan ingewikkelde als-dan-redeneringen.

En wat is het goede antwoord? Je moet natuurlijk het kaartje met de A omdraaien (want je moet controleren of aan de andere kant inderdaad een even getal staat). Dat doet iedereen wel goed. Er is nog een kaartje dat je moet omdraaien: de 7. De enige manier waarop de bewering ontkracht kan worden, is namelijk een kaartje vinden met een klinker en een oneven getal. Je moet de 7 dus omdraaien om te zien of er niet per ongeluk een klinker aan de andere kant staat. De 4 en de B kun je rustig laten liggen, want er is niet gezegd dat een even getal altijd een klinker op de andere kant moet hebben, en voor medeklinkers is überhaupt geen eis gesteld.

Later ontdekte men dat veel meer mensen het antwoord goed hebben wanneer de vraag in een sociale context gepresenteerd wordt. Als aan de ene kant leeftijden en aan de andere kant dranken staan, en de bewering is “als iemand jonger dan 16 is, drinkt hij/zij geen alcohol”, en je vervolgens de kaartjes cola, bier, 12 en 19 laat zien, schijnt het veel makkelijker te zien te zijn welke kaartjes je moet omdraaien. Het kaartje met bier (je moet controleren of daar geen leeftijd jonger dan 16 bij hoort) en het kaartje met 12 (drinkt die persoon van 12 niet stiekem een breezer?). Wat de leeftijd is van de persoon die cola drinkt en of de persoon van 19 alcohol nuttigt, zijn totaal niet relevant, vergelijkbaar met de 4 en de B in het oorspronkelijke probleem.

Deze situaties zijn natuurlijk niet helemaal hetzelfde: de eerste regel is willekeurig, opgesteld door de onderzoekers, terwijl de tweede regel een wet is die we allemaal kennen, waar al een sterke normatieve associatie bijhoort. Maar wat betreft de logica komt de situatie overeen.

Veel mensen hebben in de eerste puzzel de neiging om het kaartje met de 4 ook om te draaien. Maar je controleert dan in feite of de wet wordt nageleefd door te kijken wat de leeftijd is van iemand die cola drinkt.

Deze column staat in de Volkskrant van gisteren.

Bij lezingen doe ik soms een experiment dat ik ooit zag in een Christmas Lecture van Richard Dawkins. Ik kondig aan dat er een paranormaal iemand in de zaal is en vraag het publiek om op te staan (wat altijd een goed idee is halverwege een dag vol praatjes). Ik haal een euro uit mijn zak en vraag de helft van de zaal om heel sterk “kop” te denken en de andere helft om zich te concentreren op “munt”. Ik gooi de euro en kijk welke kant er boven ligt. De helft van de zaal die het fout dacht, mag weer gaan zitten. De andere helft verdeel ik opnieuw in twee groepen die aan kop of munt moeten denken. Zo ga ik door tot er uiteindelijk maar één iemand over is. Die persoon heeft dan een keer of zeven achter elkaar correct “voorspeld” hoe de munt zal vallen. Dit moet wel een heel bijzonder iemand zijn, met speciale telepathische gaven! Meestal begint de zaal op dat moment te protesteren: natuurlijk blijft er altijd één iemand over als je het op deze manier aanpakt. Daar is helemaal niets bijzonders aan.

Maar dit eenvoudige principe is de basis van een succesvolle fraude. Stel je voor dat je op een regenachtige maandag een brief krijgt van een bedrijf dat voorspelt dat het aandeel Ahold de komende week zal stijgen. Een week later is de koers inderdaad omhoog gegaan en krijg je van datzelfde bedrijf een nieuwe brief, met daarin de voorspelling dat de komende week Randstad zal dalen. En jawel, die week keldert de koers van dat aandeel. Zo gaat het nog vier weken door en elke keer klopt de voorspelling van het bedrijf. Na zes correcte voorspellingen vraagt het bedrijf of je voor 1000 euro de week erna een beleggingsadvies wilt. De kans is groot dat je op dat moment gelooft dat dit bedrijf de geheime formule achter beurskoersen heeft ontdekt. Je kunt bakken met geld verdienen door hun advies te volgen!

Dit bedrijfje doet hetzelfde als een munt opgooien, maar hier zie je niet de enorme groep mensen waarbij de voorspelling misgaat. Het bedrijf begint met 3200 brieven met de voorspelling dat Ahold omhoog gaat en 3200 brieven dat Ahold omlaag gaat. Elke keer splitsen ze de groep in tweeën en zo zijn er na zes voorspellingen nog 100 mensen over waarbij alles klopte. Als daarvan de helft erin trapt, dan verdienen ze mooi 50.000 euro.

Deze fraude is meermaals gebruikt. Niet alleen met beursvoorspellingen, maar ook met voetbaluitslagen en de winnaars van paardenraces. Een mooie en zeer eenvoudige variant is de waarzegster die vroeger het geslacht van een ongeboren kind voorspelde. Als na de geboorte bleek dat ze het fout had, dan hoefde je niets te betalen. Maar als ze het goed had, dan kreeg ze 50 gulden van de blije kersverse ouders. Jammer dat er tegenwoordig echo’s zijn, anders begon ik zelf zo’n winstgevend voorspellingswinkeltje voor zwangere vrouwen.

Bekijk vooral ook deze prachtige show van illusionist Derren Brown waarin hij dit systeem gebruikt om mensen ervan te overtuigen dat hij de winnaar van een paardenrace kan voorspellen.

Deze column verscheen zaterdag in de Volkskrant.

“Een ruzie met familie of je partner zit je nogal dwars.” Aldus mijn horoscoop uit een damesblad van vorige week. Ik lees hem pas nu en heb de hele week geen ruzie gehad, noch zat me anderszins iets dwars in mijn relatie met familie dan wel vriend.

Tijdschrifthoroscopen sla ik altijd over. Waarom zou iedereen die toevallig ook tussen 21 april en 20 mei geboren is de komende week hetzelfde gaan meemaken als ik?

Toch bestaat er een belangrijk, wellicht verrassend, historisch verband tussen wiskunde en astrologie. Astrologie was namelijk lange tijd een serieuze, dankbare toepassing van de wiskunde, in een tijd dat toepassingen waarvan iedereen het nut nu inziet (GPS, beveiligd internetbankieren, computers, modellen om het weer te voorspellen enzovoort enzovoort) nog verre toekomstmuziek waren.

Ontkennen dat hemellichamen invloed hebben op het leven hier op aarde kan natuurlijk niet: al het leven bestaat dankzij de energie van de zon, wanneer de zon aan de hemel staat gaan we aan het werk en als de zon onder is slapen we, en de positie van de maan beïnvloedt duidelijk hoe hoog het water staat. Maar dat de relatieve positie van planeten, zoals we die vanaf de aarde zien, kan beïnvloeden hoe ons leven verloopt, hoe ons karakter is of bepaalt welke beslissing je het beste kan nemen… Nee, daar laten de meeste mensen zich tegenwoordig niet door leiden.

Maar dat is dus niet altijd zo geweest: in de middeleeuwse islamitische wiskunde (die zeer hoog ontwikkeld was, terwijl West-Europa zich in de donkere middeleeuwen bevond) waren horoscopen een belangrijke aanleiding voor onderzoek. Islamitische theologen hadden wel bezwaar tegen astrologie, maar omdat het ook nuttig was de richting van Mekka of precieze gebedstijden te kunnen berekenen, kwamen de wetenschappers daar vaak wel mee weg.

Een astroloog moest in staat zijn de precieze stand van de hemellichamen op elk gegeven moment te kunnen uitrekenen, want hoe beter hij dat kon, hoe beter de voorspelling en hoe hoger zijn status. Zo’n horoscoop werd trouwens meestal berekend voor het precieze geboortemoment van één persoon, dit in tegenstelling tot de damesbladhoroscoop van hierboven.

Voor die berekeningen waren astronomische tabellen nodig met een heleboel gegevens. Als die tabellen na verloop van tijd niet meer helemaal klopten met de waarnemingen, moesten ze worden aangepast, waar ingewikkelde meetkunde bij nodig was. Een goede astroloog was dan ook geschoold in geavanceerde wiskunde, bijvoorbeeld die uit de Griekse oudheid. Veel wiskunde uit de Griekse oudheid is dankzij de islamitische wereld bewaard gebleven.

De astrologie gaf wiskunde en astronomie dus maatschappelijke relevantie, zorgde voor behoefte aan wiskundeonderwijs, en bovendien was deze toepasbaarheid goed voor het imago van de wiskunde (net als nu eigenlijk, al zijn de toepassingen heel anders).

Ook beroemde Europese wetenschappers als Tycho Brahe en Galileo Galilei werkten aan astrologie. Omdat dat zó niet past bij ons ideaalbeeld van de rationele wetenschap, vergeten we dit soort historische feiten misschien liever. Maar het is interessant om te zien hoe anders mensen, en dus ook wetenschappers, vroeger naar het universum keken.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Een vriend grapte laatst dat dolfijnen misschien wel onterecht zo’n sympathiek imago hebben: “Je hoort alleen verhalen over dolfijnen die een drenkeling redden, maar je hoort natuurlijk nooit iets van de eenzame zwemmer die door een dolfijn juist verder mee in zee is gesleept.” Niets ten nadele van dolfijnen, maar hij had een punt. Dit is een voorbeeld van vertekening.

Voorbeeld van een minder sympathieke dolfijn

Eén van de bekendste voorbeelden van vertekening komt uit het legendarische boekje How to lie with statistics dat Daniel Huff in 1954 schreef. Huff las in de krant dat de gemiddelde afgestudeerde van Yale $25.111 per jaar verdiende (dat is vergelijkbaar met een salaris van meer dan $200.000 in deze tijd). Hij vond dat salaris wat hoog klinken en probeerde te bedenken hoe ze aan dat bedrag kwamen. Ze hadden vast niet alle afgestudeerden benaderd, maar een steekproef genomen. En wie waren dan het makkelijkste te bereiken? Degenen die succesvol en rijk waren. De kans is groot dat de mislukkelingen onvindbaar waren of geen zin hadden om te antwoorden. Zo raakte het resultaat vertekend, waarschijnlijk was het echte gemiddelde salaris een stuk lager dan die genoemde $25.111 (en Huff legt uit dat er wel meer verdacht is aan dit zeer precieze bedrag).

Het idee achter een steekproef is dat je uit een klein aantal waarnemingen iets kunt zeggen over het grote geheel. Maar dan moeten die waarnemingen wel netjes willekeurig zijn gekozen. Nog een voorbeeld. Stel dat je een rockster bent en dat in je kleedkamer altijd een porseleinen vaas eist met tweeduizend blauwe en rode M&M’s. Omdat je de moeilijkste niet bent, schrijf je niet voor wat de verhouding tussen de blauwe en rode snoepjes moet zijn. Als je een keer wilt weten hoeveel blauwe M&M’s je precies hebt, dan moet je je roadie vragen om de snoepjes één voor één te tellen. Maar als je het alleen ongeveer wilt weten, dan kun je een flinke hand snoepjes graaien, die uittellen en aannemen dat de verhouding in de hele vaas hetzelfde zal zijn. Maar als alle rode M&M’s op de bodem liggen, dan zul je onterecht concluderen dat je alleen blauwe M&M’s heb gekregen. Je moet dus wel een goede steekproef nemen.

Dit klinkt nogal simpel, maar toch gaat het vaak mis. Een internetverkiezing geeft geen representatief beeld van wat het Nederlands publiek vindt, reaguurders zijn oververtegenwoordigd, de mening van computerschuwe ouderen verdwijnt. Soms zie je bij vertekening alleen de mislukkingen: als je op internet zoekt naar de ervaringen met een medische behandeling, dan vind je vooral de horrorverhalen. De mensen waarbij alles probleemloos is gegaan, hebben veel minder behoefte om hun verhaal aan anderen te vertellen.

In sommige gevallen hoor je juist alleen de succesverhalen, net als bij de mensenreddende dolfijnen. Neem de enquête die vraagt hoe leuk mensen het vinden om enquêtes in te vullen. Die zal laten zien dat mensen het echt superleuk vinden om enquêtes in te vullen, want degenen die een hekel hebben aan enquêtes gaan deze belachelijke vraag zeker niet beantwoorden.

Deze column verscheen gisteren in de Volkskrant.

Vorige week bracht NS de punctualiteitscijfers uit van het derde kwartaal van 2011. Prima cijfers! Maar liefst 95,5 procent van de treinen was op tijd (nou ja, minder dan vijf minuten te laat, en 90,9 procent van de treinen was minder dan drie minuten te laat). Bovendien heeft 98,7 procent van de treinen gereden. De 1,3 procent niet-gereden treinen zijn overigens niet als meer dan vijf minuten te laat aangemerkt, maar soit.

Ondanks deze prachtige resultaten is slechts 57 procent van de reizigers tevreden over het op tijd rijden van treinen. Dat wil zeggen: 57 procent van de reizigers geeft de NS een 7 of meer voor punctualiteit. Dat is nogal een verschil! Hoe kan dat? Stelt NS de cijfers te rooskleurig voor, bijvoorbeeld door te snel een aangepaste dienstregeling in te stellen als er sneeuw dreigt? Of vinden reizigers elke minuut vertraging te veel?

Kan, maar dat hoeven niet de enige redenen te zijn. Ook psychologische factoren spelen een rol. Als ik zelf over vertraging nadenk, denk ik altijd eerst aan mijn meest rampzalige ervaring ooit (een reis van Leiden naar Deurne die uiteindelijk via een stroomstoring in Dordrecht, een busreis via wat schattige schaapjes bij stationnetje Lage Zwaluwe en een andere bus naar Breda na ruim vijf uur in Eindhoven eindigde). Wat ik er dan niet meteen bij denk, is dat dat al tien jaar geleden is. En dat het zo erg daarna nooit meer geworden is (de dag dat ik vanwege sneeuw überhaupt nergens heen kon even niet meegerekend). Dat ik elke week minstens twee keer op en neer naar Utrecht moet en daarbij de afgelopen maanden geen enkele keer vertraging heb gehad, vergeet ik veel gemakkelijker.

Maar ook dat hoeft het algehele gevoel niet te verklaren. Wat belangrijker is: reizigers gebruiken een andere eenheid om in na te denken dan de NS. De NS denkt in aantallen gereden treinen, maar de reiziger denkt in aantallen reizen die in het water vallen. En als een heel drukke spitstrein tussen Leiden en Utrecht een kwartier vertraging heeft, zijn daar veel meer reizen mee gemoeid dan wanneer een rustig treintje op een weinig spannend traject op tijd rijdt. Maar die tellen in de telling van de NS even zwaar mee.

Vergelijk dit maar eens met de volgende situatie. Stel dat je een schooltje hebt met drie klassen: twee klassen met tien leerlingen en eentje met veertig. Hoe zal de school deze situatie in haar promotiefolder presenteren? Waarschijnlijk met een bewering als: “Tweederde van de klassen is klein!” Rekeneenheid: klassen. Terwijl een boze ouder zal roepen: “Jawel, maar tweederde van de kinderen zit in een veel te grote klas!” Rekeneenheid: kinderen. En het is allebei waar.

Zo zie je maar: de eenheid van tellen kan het gevoel bij een uitkomst danig beïnvloeden. Vanaf dit jaar begint NS een proef met de nieuwe indicator “reizigerspunctualiteit”, waarin wel rekening gehouden wordt met de hoeveelheid reizigers. Dus ik ben benieuwd hoeveel procent van de reizen bij NS op tijd blijkt te zijn.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant. (En ik vertelde een kortere versie van dit verhaal bij DWDD, een beetje ongelukkig in het niemandsland tussen het schrijven en verschijnen van deze column. Onderaan dit stukje staat het item, ik kom pas aan het einde.)

Maandag wordt bekend gemaakt welk boek de NS Publieksprijs wint. Misschien wel Bonita Avenue van Peter Buwalda. Mijn moeder las dat boek deze zomer en bleef het maar enthousiast aanbevelen. Eén van de hoofdpersonen was een wiskundige en mijn moeder was benieuwd of ik hem geloofwaardig vond.

Ik begon met lichte tegenzin te lezen. Wiskundigen komen er in de literatuur meestal niet al te best vanaf. Ze zijn wereldvreemd, onsympathiek of knettergek. Het ergste is dat het meestal totaal oninteressante, eendimensionale personages zijn.

Over wiskundige Siem Sigerius in Bonita Avenue kun je veel zeggen, maar niet dat hij oninteressant of eendimensionaal is. Hij is charismatisch, invloedrijk en ongrijpbaar. In zijn jonge jaren blijkt hij judo-kampioen te zijn geweest. Wiskunde ontdekt Siem pas als hij met een been in het gips ligt en niet kan sporten. Hij vindt toevallig een boekje van de Nationale Wiskunde Olympiade en krijgt plezier in het kraken van de sommen. Op pagina 416 staat als voorbeeld:

Siem lost dit probleem vlotjes op, maar er staat niet hoe hij het doet. Het is natuurlijk ook een roman, geen wiskundeboek. Ik wilde toch weten hoe het moest en met wat gepuzzel lukte het me om de juiste getallen te vinden (hint: je gebruikt dat 0,SNELSNELSNELSNEL… hetzelfde is als SNEL/9999).

In het boek raakt Siem zo geïnspireerd door deze opgave dat hij een vriendje voor Ada Kok bedenkt: PELE³ = DOELPUNTEN. De oorspronkelijke eigenaar van het opgavenboekje prijst hem voor deze opgave en zegt “Ik heb mijn hele weekend besteed aan Pelé keer Pelé keer Pelé. Ik kom er niet uit.” Mij verging het hetzelfde toen ik deze puzzel probeerde, het leek wel of er helemaal geen oplossing bestond! Ik schreef hier iets over op Twitter en kreeg prompt een email van auteur Peter Buwalda. Hij bekende dat de Ada-Kok-puzzel een bestaande opgave was, maar dat hij de Pelé-variant zelf had bedacht. Tijdens het schrijven was hij nota bene al bang dat iemand zoals de wiskundemeisjes zijn puzzel zou gaan testen. Zijn angst was uitgekomen!

Het deed me deugd om te horen dat schrijvers bang zijn voor wiskundemeisjes. Maar om te laten zien dat ik helemaal niet zo angstaanjagend ben, bood ik aan om een nieuwe puzzel te verzinnen. Eéntje die wel klopt. Ik besloot dicht bij het origineel te blijven en kwam met

Deze opgave heeft een unieke oplossing, al is hij niet zo elegant stap-voor-stap op te lossen als die van Ada Kok. Maar omdat Siem deze puzzel verzint als hij nog nauwelijks iets van wiskunde weet, is dat niet zo gek.

Om de vraag van mijn moeder te beantwoorden: ik vond Siem een geloofwaardige en interessante wiskundige. En dat is nog maar één van de redenen dat Bonita Avenue een van de fijnste romans is die ik dit jaar las, dus ik stemde op Buwalda voor de NS Publieksprijs. Dat de beste moge winnen.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Kent u de uitdrukking “Volgens Bartjens…”? Volgens Van Dale betekent ze: “volgens de eenvoudigste beginselen der rekenkunde; zo nauwkeurig mogelijk berekend”, vaak gebruikt in de zin van: als je logisch doorredeneert. De spreekwoordelijke Bartjens was schoolmeester Willem Bartjens (1569 – 1638), die aan het begin van de zeventiende eeuw furore maakte met zijn rekenboek De Cijfferinghe van Mr. Willem Bartjens. Tot in de negentiende eeuw verschenen nieuwe edities van dit boek, generaties kinderen leerden dus rekenen met sommen van zijn hand.

Ook nu staat het rekenen hoog op de agenda’s van de politiek en van de middelbare scholen, want het niveau van de zogenaamde basisvaardigheden (taal en rekenen) moet opgevijzeld worden. Daarom wordt vanaf 2014 een rekentoets afgenomen als verplicht onderdeel van het eindexamen.

De rekentoets is daarmee wel een vreemde eend in de bijt. In alle andere examenvakken wordt namelijk les gegeven op de middelbare school. Rekenlessen zijn er meestal (nog) niet. Toch moeten de scholen hiermee aan de slag. Ze mogen zelf weten hoe ze dat doen. Veel scholen beginnen met jaarlijkse rekentoetsen, en geven daarvoor wat rekenlessen of besteden er in de wiskundelessen extra aandacht aan.

Eigenlijk zou ook in andere vakken extra aandacht besteed moeten worden aan rekenen, juist omdat het een basisvaardigheid is. Rekenen komt natuurlijk overal voor, denk aan scores of tijdverschillen in de gymles, berekeningen met procenten bij economie of bevolkingsdichtheden bij aardrijkskunde.

Datzelfde geldt natuurlijk voor taal. Ik vind het alleen maar vanzelfsprekend dat je als wiskundedocent in proefwerken alle taalfouten aanstreept en in de les let op formuleringen en woordbetekenis. Leerlingen leren behoorlijk wat nieuwe woorden bij wiskunde, en het is belangrijk om verbanden te leggen met woorden die ze al kennen. (Al zouden er mooiere wiskundige termen bedacht moeten kunnen worden dan, om maar een gedrocht te noemen, “relatieve cumulatieve frequentiepolygoon”.)

Tussen wiskunde en taal bestaan wel meer verbanden. In onze taal komen, naast “Volgens Bartjens…”, best wat uitdrukkingen voor waarin getallen een rol spelen. Acht is meer dan duizend, bijvoorbeeld: een mooie ouderwetse uitdrukking die letterlijk natuurlijk helemaal niet klopt. Het is een woordspeling, acht slaat hier niet op het getal, maar op oplettendheid. Oftewel: het is belangrijk om je zaken goed te behartigen, belangrijker dan veel geld.

In zo’n uitdrukking waar “duizend” in voorkomt, betekent duizend meestal gewoon: heel erg veel, meer dan je je kunt voorstellen. Denk aan: ik heb het je al duizend keer gezegd, duizend angsten uitstaan. En als je wil aangeven dat het zelfs nog meer is, zeg je duizend-en-een. Maar ook honderd of een miljoen worden op deze manier gebruikt, honderd in de oudere uitdrukkingen, en een miljoen in de nieuwere. Een soort woordinflatie.

Er zijn meer uitdrukkingen met tellen of getallen. Daarvan gaan er dertien in een dozijn. Hij is een nul. Na veel vijven en zessen. Uitgeteld zijn. Op je tellen passen. Iemand op z’n nummer zetten.

Kortom: de scholen gaan dit jaar flink aan de slag met basisvaardigheden, en niet op zijn elf-en-dertigst, want anders kun je op je vingers natellen dat de boel straks in het honderd loopt.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

De afgelopen weken sneuvelde de ene autoruit na de andere. Vooral op snelwegen in de Randstad was het steeds raak. Al snel werd er gespeculeerd over een snelwegschutter, een gek die met een luchtbuks op auto’s zou schieten. Maar er is geen enkel spoor van zo’n schutter gevonden en het Korps Landelijke Politiediensten suggereerde dat de ruiten misschien uit elkaar spatten door steenslag. Op internet klagen mensen al jaren over spontaan gesprongen autoramen. Die ruiten kunnen door allerlei oorzaken kapot springen en dat gebeurt dan ook regelmatig. Op dit moment is elke gespatte autoruit nieuws en zoeken we naar een diepere reden. Terwijl het best toeval kan zijn dat er de afgelopen weken zoveel ruiten achter elkaar sneuvelden.

Om de haverklap gebeurt er namelijk wel iets dat te bijzonder lijkt om toeval te zijn. Wiskundige John Littlewood berekende eens dat je ongeveer eens per maand een wonder kunt verwachten. Hij noemde iets een wonder als het een kans van één op een miljoen had om te gebeuren. Verder nam Littlewood aan dat je per dag ongeveer 8 uur alert was en dat er in die tijd elke seconde iets kon gebeuren. Onder deze voorwaarden zou je eens per 35 dagen een wonder moeten zien. Het is pas raar als er maandenlang helemaal niets uitzonderlijks gebeurt.

Het meest toevallige dat ik ooit meemaakte, gebeurde in 1999. Ik had in die tijd verkering met een jongen die geobsedeerd was door het getal 22. Hij zag het getal overal. Als we door de stad liepen, wees hij om de haverklap een 22 aan op bordjes, kentekenplaten en t-shirts. Ik legde hem uit dat hij overal 22 zag, omdat hij daar zo op lette. Als hij van 37 zou houden, of desnoods van 54, dan zou dát getal hem steeds opvallen. Hij bleef er bij dat er iets was met 22 en dat het zeker geen toeval was dat dit getal zo vaak opdook. Het bleef een discussiepunt tussen ons en op een dag stonden we hierover te kibbelen in de supermarkt. Al mopperend liepen we naar de kassa. Daar moesten we 22,22 afrekenen. Ik zie het bedrag nog verschijnen op het schermpje (en nee, mijn vriend had dit niet uitgeteld). Heel bijzonder, maar iedereen heeft wel iets meegemaakt dat ongeveer even onwaarschijnlijk is. Ik geloofde daarna nog steeds in toeval en niet in geheime krachten van 22.

De kassabon heb ik nog steeds. Dit waren voor mij als 20-jarige de ingrediënten voor een romantische avond: kip siam, chocolademousse en breezers.

Ik heb een hypothese hoe het komt dat we zo graag een diepere reden zoeken achter min of meer toevallige gebeurtenissen. In verhalen die mensen elkaar vertellen speelt toeval geen rol, alle losse eindjes worden weggelaten. In romans en films gebeurt niets zomaar. Twee mensen die tegen elkaar opbotsen? Dat moet ware liefde zijn. En als er in de eerste akte een geladen geweer aan de muur hangt, dan kun je er op rekenen dat daarmee geschoten gaat worden. Heel anders dan in het echte leven waar allerlei dingen zomaar gebeuren.