Wiskundemeisjes

Een oud raadsel gaat alsvolgt: je hebt negen ballen gekregen en een ouderwetse balans. Een van de ballen is ietsje zwaarder dan de andere en jij wil graag weten welke. Hoe veel keer moet je nu minstens ballen op de balans tegen elkaar wegen om te weten wat de zwaarste bal is? Denk er zelf even over na, voor je gaat opzoeken wat het (verrassend lage) antwoord is. Dit raadsel (met oplossing) staat als een mooi verhaal in The nine yellow balls. Er is ook een moeilijkere variant, waarbij je alleen weet dat een van de negen ballen een ander gewicht heeft dan de rest, je moet nu niet alleen zeggen welke bal dat is, maar ook zeggen of die zwaarder of lichter is dan de rest (de oplossing is in dit geval een tamelijk ingewikkeld weegschema).

Gisteren kwam ik een nieuw "Weeg de ballen"-probleem tegen, met een leuke oplossing. Je hebt nu een stapel met maar liefst 2006 ballen gekregen en zo'n mooie, ouderwetse balans. Van de stapel wegen er 1003 ballen precies 10 gram en de andere 1003 ballen wegen elk 9.9 gram. Jij moet deze ballen in twee stapels van elk 1003 ballen verdelen en deze twee stapels mogen niet hetzelfde totaalgewicht hebben. Hoe vaak moet je nu minstens wegen? Ik verwacht jullie antwoorden in de reacties!
(Ionica)

Als je met schenkstroop probeert om op een pannenkoek je naam te schrijven of een hartje te tekenen, kunnen er twee dingen gebeuren. Óf je krijgt een mooie, egale lijn, óf je krijgt een flubberige lijn die afwisselend uit bobbeltjes en dunne sliertjes bestaat. Wiskundigen uit Eindhoven hebben gemodelleerd hoe dit precies komt en Guido Schmeits schreef er een leuk artikel over op Kennislink.

(Jeanine)

Jeanine en ik bestelden eerder dit jaar t-shirts bij het geweldige ThinkGeek (Stuff for Smart Masses). Dit zijn twee van de shirts waarmee wij door ons wiskunde instituut paraderen (als het tenminste niet zo idioot warm is als vandaag)...

(Klik op de plaatjes voor een grotere versie, als je de tekst ook echt wil lezen.)

Sindskort biedt ook een Nederlandse site fijne shirts voor bèta's aan. Op Science Orientated Shirts kan je shirts uitzoeken met al je favoriete homeboys. Voor wiskundigen hebben ze bijvoorbeeld Pythagoras of Fibonacci.

(Ionica)

Wat doe je als iemand vraagt wat je favoriete formule is: welke formule eigenlijk iedereen zou moeten kennen? Zeg je:

a) Alle formules zijn gelijk, maar sommigen zijn meer gelijk dan anderen.
b) e ^{π i} = -1 natuurlijk!
c) Nou, eigenlijk is er geen ultieme formule die iedereen moet kennen. Wiskunde is zo veel meer dan formules. Logisch denken en bewijzen vind ik veel mooier dan formules.
d) De Formule 1.

Ik probeerde eerst antwoord c). Maar degene aan de andere kant van de lijn gaf geen krimp en hield vol. Dus eindigde ik met antwoord b). Want dat is toch wel mijn favoriete formule. Waarom?

Mijn favoriet: e ^{π i} = -1

Laten we eens rechts van het =-teken beginnen, daar staat -1. Dat is makkelijk, dat kennen we allemaal. Maar vroeger was het helemaal niet zo vanzelfsprekend om negatieve getallen te gebruiken. Heb je wel eens -2 appels gezien? Het duurde even voor mensen inzagen dat als je geen appels had maar wel nog 2 appels aan iemand moest geven, je best kon zeggen dat je -2 appels had.

En wat staat er allemaal links van het =-teken? We zien e, π en i. Pi (π voor vrienden) ≈ 3.14159 en het is de bekende verhouding tussen de diameter van een cirkel en zijn omtrek. Wat zijn die andere twee letters e en i?

De prachtige constante e

e ≈ 2.71828 is een constante met een bijzondere eigenschap. Als je de grafiek van e^x tekent, dan heeft deze grafiek in elk punt precies dezelfde helling als de waarde van de functie. Hieronder zie je links de grafiek van e^x en rechts de grafiek van zijn helling:

Even ter vergelijking, hieronder links een parabool en rechts zijn helling:

Deze constante e duikt op allerlei gekke plaatsen op: bij lootjes trekken voor Sinterklaas bijvoorbeeld. De kans dat niemand zichzelf trekt is 1/e voor grote groepen.

De imaginaire constante i

Op de middelbare school leerde ik dat de wortel uit een negatief getal niet bestaat. Ik voelde me enorm bedrogen toen ze op de universiteit doodleuk zeiden dat i² = -1. Dat kon toch helemaal niet? Want 1 x 1 = 1 en -1 x -1 = 1. Wiskundigen trekken zich daar niks van aan en definiëren i domweg als het getal waarvoor wel geldt dat i x i = -1. Vervolgens rekenen ze vrolijk met die imaginaire (denkbeeldige) i en het leuke is, dat je daardoor allerlei mooie berekeningen kan maken, waar we ook in de echte wereld iets aan hebben. Eigenlijk verschilt zo'n imaginaire constante helemaal niet zo veel van een negatief getal, ook die zie je niet om je heen, maar kan je wel heel goed gebruiken.

Terug naar de fomule... e ^{π i} = -1

Waarom is dit nu mijn favoriete formule? Omdat je links allerlei moeilijke dingen ziet, die ineens gelijk blijken te zijn aan iets heel eenvoudigs. Dat is wat wiskundigen leuk vinden, moeilijke dingen makkelijk maken. En soms lijkt dat wel een beetje op een wonder...

(Ionica)

Sommen van kwadraten

Een bekende stelling uit de getaltheorie vertelt ons dat ieder positief geheel getal te schrijven is als een som van 4 kwadraten. Deze stelling is in 1770 door Lagrange bewezen. Het begin van het lijstje ziet er als volgt uit.

Anders geformuleerd zegt de stelling van Lagrange dat de uitdrukking x² + y² + z² + u² alle positieve gehele getallen als uitkomst kan hebben als je er gehele getallen in invult voor de variabelen x, y, z en u. We zeggen dat de uitdrukking x² + y² + z² + u² alle positieve gehele getallen representeert.Dit is een bijzondere eigenschap van deze uitdrukking, want voor veel andere uitdrukkingen geldt dit niet. Het is bijvoorbeeld duidelijk dat er bij x² altijd een kwadraat uitkomt en dus nooit bijvoorbeeld het getal 3. De uitdrukking x² representeert 3 dus niet.

Een voor de hand liggende vraag is de volgende: zijn er nog meer van dit soort uitdrukkingen die alle positieve gehele getallen representeren en hoe kun je zien of een bepaalde uitdrukking dat doet?

Gehele positief-definiete kwadratische vormen

De 290 stelling geeft een verrassend antwoord op deze vraag: als je van een bepaald soort uitdrukking al weet dat hij een lijstje van 29 getallen representeert, dan weet je meteen dat hij alle positieve gehele getallen representeert! Maar eerst moeten we natuurlijk bedenken wat er in de vraag bedoeld wordt met "dit soort uitdrukkingen". Een mogelijk antwoord is: gehele positief-definiete kwadratische vormen. Dat is een hele mond vol, dus laten we per woord bekijken wat dat nou precies voor vormen zijn.

Voorbeelden van kwadratische vormen zijn:
x² + y²,
x² + y² + z² + u²,
1/2 xz,
x² - 4z² en
x² + y² + z² - 14xz + 5yz.

Een kwadratische vorm is een som van termen die allemaal bestaan uit óf het kwadraat van een variabele, óf het product van twee variabelen, met een getal ervoor. De volgende uitdrukkingen zijn dus géén kwadratische vormen:
x² - 2x,
x² + 4 en
xy - 5xyz.

Merk op dat als je voor alle variabelen die voorkomen 0 invult, dat er dan altijd 0 uitkomt, wat je kwadratische vorm ook is!

Een gehele kwadratische vorm is een kwadratische vorm waarbij de getallen die voor de variabelen staan gehele getallen zijn.

Nu zijn we bij het laatste woord beland: positief-definiet. Een gehele kwadratische vorm noemen we positief-definiet in het volgende geval: als je gehele getallen invult, komt er altijd een getal groter dan 0 uit, behalve als je voor alle variabelen 0 invult, dan komt er 0 uit. De vorm x² + y² is dus inderdaad positief-definiet, want als x of y ongelijk aan 0 is, dan is x² + y² groter dan 0. Zo is het ook makkelijk te zien dat x² + y² + z² + u² positief-definiet is. De vorm x² - 4z² is niet positief-definiet: als je bijvoorbeeld x=1 en z=1 invult komt er -3 uit. Ook x² + y² + z² - 14xz + 5yz is niet positief-definiet, want deze vorm representeert -12 (neem x=1, y=0 en z=1).

De 290 stelling

Nu zijn we ver genoeg om de mededeling die de 290 stelling doet te kunnen begrijpen. Deze stelling werd onlangs bewezen door Manjul Bhargava en Jonathan P. Hanke. Het is een beetje een bizarre stelling, met 29 getallen die volledig uit de lucht lijken te vallen. De 290 stelling luidt als volgt.

Als een gehele positief-definiete kwadratische vorm de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203 en 290 (vandaar de naam!) allemaal representeert, dan representeert de vorm alle positieve gehele getallen!

De stelling zegt dus iets heel sterks: als je een gehele positief-definiete kwadratische vorm hebt, dan hoef je maar voor een eindig aantal, namelijk 29, getallen te controleren of ze door deze vorm gerepresenteerd worden. Als dat het geval is, dan weet je meteen dat alle positieve gehele getallen er uit kunnen komen! Je hoeft dus niet voor alle getallen na te gaan of ze gerepresenteerd kunnen worden, en dat is maar goed ook, want dan zou je dat voor een oneindig aantal getallen moeten doen...

En er is nog iets leuks aan de hand: Bhargava en Hanke zijn er zelfs in geslaagd om voor elk van deze 29 getallen een gehele positief-definiete kwadratische vorm te vinden die alle positieve gehele getallen representeert, behalve dat ene getal! Dat betekent dat uit dat lijstje van 29 ook echt geen enkel getal meer weg te laten valt.

Hier kun je nog meer lezen over Manjul Bhargava en de 290 stelling (in het Engels).

(Jeanine)

Afgelopen vrijdag was Jeanine te gast bij WATNOU..?!, het jongerenprogramma van de Nederlandse Moslim Omroep op 747 AM. Voor wie het gemist heeft: luister of download het fragment hier.

Jeanine vertelt samen met wiskundestudent Mark Roelands over de workshops wiskunde en kunst die ze gaven in Iran. Ze vertellen ook hoe ze het land en de mensen hebben ervaren. Luister dus gewoon en hoor van alles over mooie tegelingen, eeuwige rijst met kebab, het Iraanse House of Mathematics, lekkere snoepjes en die leuke site wiskundemeisjes.nl . Je leert ook nog hoe je om een asbak moet vragen in Iran!

(Ionica)

Speciaal voor iedereen die net eindexamen heeft gedaan: Anne van Toffe Haan, een vrolijk liedje over een meisje dat studeert voor haar examen wiskunde A. Ik citeer uit het refrein:

Nooit meer wiskunde.
Nooit een som of een grafiek.
Nooit meer wiskunde.
Nooit meer saaie statistiek.

Als wiskundemeisje vind ik het natuurlijk heel jammer dat Anne nooit meer wiskunde wil doen (al ben ik het met dat "saaie statistiek" wel een beetje eens). Gelukkig komt het op het eind van het liedje toch nog goed met Anne en wiskunde...

(Ionica)

Vorige week was ik in Iran, waar ik met een leuke groep Nederlandse studenten een workshop gaf aan Iraanse studenten wiskunde en kunst. Een wat uitgebreider verslag volgt later nog, maar voor nu, om een impressie te geven, vast twee actiefoto's met Iraanse wiskundemeisjes erop. Met dank aan Tom Goris.

Op dit moment zijn de wiskundemeisjes allebei in het buitenland. Jeanine is zondag vertrokken naar Iran en ik ben voor de tweede week op de zomerschool Combinatorics, Automata and Number Theory (CANT voor vrienden) in Luik.

Gisteren grapte een spreker dat deze conferentie eigenlijk CAN'T moet heten, omdat er nog zoveel dingen zijn die we níet kunnen. En inderdaad: het lijkt hier wel een open problemen galore. Jeffrey Shallit speelde vorige week voor Erdös door 20 of 50 euro uit te loven voor verschillende open problemen die hij interessant vindt. Ook de andere sprekers noemen stuk voor stuk interessante onopgeloste vragen uit hun vakgebied. De meeste problemen zijn vrij eenvoudig uit te leggen. Vandaag kwam bijvoorbeeld de vraag voorbij of in de oneindig veel decimalen van pi ook oneindig vaak het getal 1 voorkomt. Wie het weet mag het zeggen.

Mijn favoriete open probleem van de vorige week werd genoemd door Juhani Karhumäki. Hij noemde het Skolem's probleem. Het is alsvolgt te formuleren:

Gegeven een vierkante matrix A met daarin gehele getallen (al dan niet negatief). Bepaal of er een positief getal n bestaat zodat in de rechterbovenhoek van de matrix Aⁿ een nul staat.

Natuurlijk wordt deze vraag pas interessant als er in de matrix negatieve getallen voorkomen. Voor matrices groter dan 5 bij 5 is onbekend of dit probleem beslisbaar is. Voor de echte liefhebbers is een bewijs dat het probleem voor kleinere matrices beslisbaar is te vinden in het artikel Skolem's Problem - On the Border Between Decidability and Indecidability (pdf).

(Ionica)

Vandaag is de honderdste geboortedag van Kurt Gödel (1906 - 1978). Ik ga vandaag niets over zijn leven schrijven, want informatie daarover kun je bijvoorbeeld lezen in zijn In Memoriam uit The Times of een moderner artikel van Christian Jongeneel.

Gödel is vooral bekend om zijn onvolledigheidsstelling. Die stelling heeft betrekking op het logische bouwsel van axioma's en stellingen dat de wiskunde is. De wiskunde is gebaseerd op axioma's, de fundamenten van de wiskunde. De axioma's zijn beweringen die je aanneemt. Door middel van de regels van de logica kun je uit die axioma's stellingen afleiden. Een stelling is dus een bewering waarvoor een bewijs, zo'n logische afleiding, is gevonden. De onvolledigheidsstelling is dus eigenlijk een meta-stelling: het is een wiskundige stelling die tegelijk iets zegt over de wiskunde zelf als formele taal.

De belangrijkste eis die wiskundigen stellen aan dit formele systeem is dat het consistent moet zijn. Dat houdt in dat in zo'n systeem alleen ware beweringen bewezen mogen kunnen worden, oftewel: als een bewering niet waar is, mag hij niet bewijsbaar zijn.

De wiskundigen uit het begin van de twintigste eeuw, bijvoorbeeld Russell en Hilbert, probeerden de hele wiskunde op die manier om te toveren tot een formele taal. Hun ultieme hoop was dat het mogelijk zou zijn om in zo'n consistent systeem alle ware beweringen ook daadwerkelijk te bewijzen.

Deze hoop werd door Gödel in 1931 de grond in geboord. Hij bewees toen namelijk zijn onvolledigheidsstelling: als je een voldoende sterk, consistent formeel systeem hebt, met de regels van de logica, dan bestaan er altijd beweringen die wel waar zijn, maar niet binnen dit systeem te bewijzen zijn! ("Voldoende sterk" betekent hier dat het systeem minstens de rekenkunde moet omvatten, wat voor een wiskundig systeem natuurlijk niet teveel gevraagd is.)

Het idee van het bewijs is gebaseerd op zelfverwijzing. Gödel is er op een slimme manier in geslaagd om binnen het systeem de volgende bewering te formuleren: "Deze bewering is onbewijsbaar". Nu zijn er natuurlijk twee mogelijkheden. De eerste mogelijkheid is dat de bewering onwaar is. Maar dan is de bewering niet onbewijsbaar, dus bewijsbaar. Dan hebben we een bewering gevonden die onwaar is en toch bewijsbaar! Maar dat is in tegenspraak met de consistentie van ons formele systeem. Deze mogelijkheid valt dus af.

De enige andere mogelijkheid is dat de bewering waar is. Maar nu volgt natuurlijk dat de bewering onbewijsbaar is. Het systeem bevat dus minstens één bewering die waar is, maar niet bewijsbaar. Omdat je dit in elk dergelijk formeel systeem kunt doen, is bewezen dat al die systemen onvolledig zijn.

Voor de wiskundige praktijk heeft de onvolledigheidsstelling veel minder gevolgen dan je misschien zou verwachten. Er is nog nooit een dergelijke zin gevonden die niet speciaal als voorbeeld geconstrueerd is met behulp van die zelfverwijzing. Dat komt natuurlijk ook omdat het in principe niet zo makkelijk is om van een bewering wel te weten dat ze waar is, terwijl er geen bewijs bestaat...

(Jeanine)