Reacties op: Verwarrende oneindigheden

Door: ireland landscape

ireland landscape — Tue, 19 Aug 2014 07:51:01 +0000

ireland landscape

Wiskundemeisjes » Blog Archive » Verwarrende oneindigheden

Door: Simon

Simon — Fri, 10 Aug 2012 17:36:02 +0000

Wiskunde heb ik alleen op de HBS gehad en dat is al heel lang geleden, maar misschien kan iemand mij helpen met het volgende:
1. Ik kies een willekeurig punt op een tijdslijn. Ik ga uit van jaren en niet van getallen op zich, want dan kun je altijd kleinere getallen bedenken tussen twee punten.
2. Wat zit er rechts van de lijn? Ik neem aan een oneindig aantal jaren. Wat zit er links van de lijn? De afstand van nul tot aan dit punt. Hoeveel jaren zitten daar in? Als ik een willekeurig punt heb gekozen zal de kans oneindig groot zijn dat dit aantal een grootte heeft die door geen enkele notatiewijze weer te geven is, maar het blijft gewoon een getal, dus het lijkt of er na een pseudo oneindigheid geeindigd wordt met een vast getal.
Dit lijkt me een vreemd soort oneindigheid, die feitelijk geen oneindigheid is, maar ook niet benoemd kan worden.

Gaarne commentaar.

Door: Count Iblis

Count Iblis — Thu, 19 Apr 2012 22:50:59 +0000

ikke,

om dat soort getallen goed te definieren moet je wat werk doen. Een voorbeeld van zulke getallen zijn P-adische getallen:

http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number

"10-adic numbers use a similar non-terminating expansion, but with a different concept of "closeness" called a metric. Whereas two decimal expansions are close to one another if their difference is a large negative power of 10, two 10-adic expansions are close if their difference is a large positive power of 10. Thus 3333 and 4333, which differ by 10^3, are close in the 10-adic metric, and 33333333 and 43333333 are even closer, differing by 10^7."

Door: ikke

ikke — Thu, 19 Apr 2012 21:46:51 +0000

wat ik eigenlijk wilde zeggen was dat het gela 0,3333333..... wel voorkomt in mijn lijst, en wel op de ........333333333e plaats. en mijn vraag was of .......33333333 een natuurlijk getal was of iets anders

Door: ikke

ikke — Thu, 19 Apr 2012 17:41:28 +0000

@Matthijs: ik had dat dus niet over het hoofd gezien, maar ik dacht alleen, dat als je een ONEINDIGE lijst van getallen maakt, je ook de getallen met Oneindig veel decimalen krijgt, en dat als je op mijn manier een lijst maakt, je op eenzelfde manier kunt bewijzen dat je niet alle natuurlijke getallen in een lijst kunt plaatsen, ervan uitgaande dat de oneindige gehele getallen groter dan nul ook natuurlijk waren. dus als dat niet zo is, heb je inderdaad gelijk dat het onmogelijk is.
maar als de oneindige getallen groter dan nul geen natuurlijke getallen zijn, hoe heten deze dan wel, en waarom zijn deze niet natuurlijk?

Door: Matthijs

Matthijs — Thu, 19 Apr 2012 09:39:02 +0000

@Ionica: wat voor mij altijd moeilijk te accepteren is geweest, is dat het intuitieve begrip 'even groot' met het wiskundige begrip 'gelijke kardinaliteit' overeenkomt. Waarom vind jij dat die twee begrippen overeenkomen?

@ikke: wat je over het hoofd ziet, is dat er reele getallen met oneindig veel decimalen zijn. Bijvoorbeeld 1/3=0,33333... Dat getal kun je niet volgens jouw methode

Je hebt wel gelijk dat wat jij zegt een bewijs is dat de reele getallen met *eindig* veel decimalen 1-op-1 op de natuurlijke getallen te plaatsen zijn.

Door: Count Iblis

Count Iblis — Wed, 18 Apr 2012 20:10:18 +0000

@Ionica, haha, in zekere zin zitten we in een simulatie, want wat we kunnen ervaren is bepaald door wat de hersenen doen, maar dat is altijd equivalent met de output van een computerprogramma wat de processen in de hersenen uitrekent.

@Lieven: Inderdaad, er is een minder technische uitleg hier:

http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/low-skol.htm

Er bestaan ook "computable numbers", dat is de deelverzameling van alle reeële getallen die willekeurig dicht benadert kunnen worden door een algoritme, en die verzameling is wel aftelbaar, zie hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number

Door: Arno van Asseldonk

Arno van Asseldonk — Wed, 18 Apr 2012 17:37:16 +0000

@ikke: Er zijn verschillende manieren om met behulp van het zogenaamde diagonaalargument van Cantor aan te tonen dat de verzameling reële getallen overaftelbaar oneindig is. Hieronder geef ik zo'n mogelijkheid.
Te bewijzen: de verzameling reële getallen is overaftelbaar oneindig
Bewijs (uit het ongerijmde): stel de verzameling reële getallen is aftelbaar oneindig, waarbij een 1-op-1 relatie tussen de reële getallen tussen 0 en 1 en de verzameling natuurlijke getallen mogelijk is. Stel dat we de reële getallen tussen 0 en 1 onder elkaar zetten. We construeren nu een getal tussen 0 en 1 waarbij de n-de decimaal gelijk is aan de n-de decimaal van het n-de getal uit de lijst. Vervolgens wordt een decimaal met de waarde 9 gewijzigd in 0, en een decimaal met de waarde 0 t/m 8 gewijzigd in de daaropvolgende waarde. Van het getal wat we nu hebben wijkt de n-de decimaal af van de n-de decimaal van het n-de getal uit de lijst. Omdat n alle natuurlijke getallen doorloopt hebben we dus een getal tussen 0 en 1 gekregen waaraan we geen natuurlijk getal kunnen toekennen. Er is dus geen 1-op-1 relatie tussen de reële getallen tussen 0 en 1 en de verzameling natuurlijke getallen mogelijk, dus de verzameling reële getallen is overaftelbaar oneindig, wat te bewijzen was.

Door: ikke

ikke — Tue, 17 Apr 2012 18:14:09 +0000

ik kan eigenlijk niet begrijpen, waarom de reële getallen overaftelbaar oneindig zijn, want als je de reële getallen tussen 0 en 1 als een decimale voorstelling ziet, waarbij ieder getal het omgekeerde van een natuurlijk getal is, gedeeld door het aantal decimalen van het desbetreffende natuurlijke getal, dan kun je toch de reële getallen 1-op-1 met de natuurlijke getallen plaatsen? bijvoorbeeld:
1-0,1
2-0,2
3-0,3 en
103845644- 0,446548301
hiermee heb je toch alle reële getallen tussen 0 en 1 in 1-op-1 gezet met de natuurlijke getallen, zelfs de 'oneindige' getallen zoals pi-3 e.d. komen hierin voor, alleen word3en de bijbehorende natuurlijke getallen dan weer 'oneindig' groot. en als je dit dan in het wikipediaanse (niet gegeneraliseerde) diagonaalbewijs zet, kom je toch op een soort hotel uit, waar je bij het diagonaalgetal met N decimalen je een getal groter dan N nodig hebt die toch wel in het hotel past?
zou iemand me kunnen zeggen wat hier niet aan klopt, en als het wel klopt ervoor kunnen zorgen dat ik ook nog iets te doen heb als ik ga studeren (waarvan ik geen idee heb hoe dat is)

Door: Ionica

Ionica — Mon, 16 Apr 2012 19:18:21 +0000

@Lisette: wat ontzettend tof om te horen!

@Bjorn: dat van die puber zei John Green, ik citeerde hem alleen! Ik denk eigenlijk dat iedereen die diep nadenkt over oneindigheid moet concluderen dat hij het niet echt begrijpt. Ik kan prima leven met oneindigheid, zolang ik niet aan de echte wereld denk.