Reacties op: Delen door 3

Door: Hendrik

Hendrik — Fri, 11 Jun 2010 13:22:45 +0000

Jeanine schreef:
Het verschil tussen een getal en zijn cijfersom is altijd de som van een aantal keren 9, 99, 999 en 9999, enzovoorts

Dit geldt voor het decimale getalstelsel. Geldt dit nu ook voor bijvoorbeeld het hexadecimale stelsel met 15? (F, FF, FFF, etc.) Ik vermoed van wel.
Dat zou betekenen dat in het hexadecimale stelsel een getal deelbaar is door 5 als de som deelbaar is door 5. Voor de getallen 0x14 (20) en 0x41 (65) gaat dat op, en ook voor 0x3039 (12345).
Het lukt mij niet om het te bewijzen.
Iemand anders wel?

Door: Reijer

Reijer — Tue, 01 Jun 2010 13:57:53 +0000

Ah, bij nader inzien denk ik dat ik je verkeerd begreep. Je bedoelde dat het eleganter kon, hoewel er nog wel een tussenstapje bij hoort vind ik.

Waarbij we gebruiken dat .

Door: Reijer

Reijer — Tue, 01 Jun 2010 12:58:03 +0000

@HJ: Natuurlijk, je kunt zoveel stappen weglaten als je wilt. Maar als je alles weglaat dan is het een stelling geworden, ipv het bewijs. De bedoeling was juist een (voor formulekundigen) makkelijk volgbaar bewijs te geven.

Door: HJ

HJ — Mon, 31 May 2010 15:26:28 +0000

Tsja, formules. Ik vind zelf dat de charme van de column van Jeanine is dat ze er voor gekozen heeft een bewijs te geven in woorden. Dat betekent dat ze het zichzelf moeilijk heeft gemaakt want 'modulo 3' mag je dan niet meer zeggen.
Maar als je formules wilt gebruiken volstaan de eerste en laatste regel van bovenstaande gelijkheid. Je gebruikt dan inderdaad dat deelbaar is door , oftewel dat gelijk is aan modulo drie.

Door: Reijer

Reijer — Mon, 31 May 2010 10:53:49 +0000

Het blijft een leuke truuk! Even in formules, gewoon omdat het kan. :)

Elk geheel getal van digits is te schrijven als , waar de digits zijn. Dan kunnen we schrijven:

In de laatste stap hebben we gebruikt dat altijd deelbaar is door 3.

Door: Jeanine

Jeanine — Sun, 30 May 2010 14:39:35 +0000

@ Gerard: ja, je hebt gelijk, ik had het beter andersom kunnen formuleren! Maar het is inderdaad een "dan-en-slechts-dan", zoals direct blijkt uit de voorgaande zin, zodat ik hopelijk niet teveel lezers in verwarring heb gebracht. ;-)

Door: Gerard Jager

Gerard Jager — Sun, 30 May 2010 14:10:37 +0000

@Saskia: Touché! Dan toch maar terug naar Jeanine met haar 10-tallig stelsel, maar dan wel met de juiste conclusie.

Door: Saskia

Saskia — Sun, 30 May 2010 13:18:50 +0000

@Gerard: De som van de cijfers van K+1 is niet altijd eentje groter dan de som van de cijfers van K. Bijvoorbeeld 9 heeft als som van de cijfers 9, maar 9+1=10 en dat heeft als som van de cijfers 1. Als je inductie toe wilt passen, moet je met dit soort gevallen rekening houden.

Door: Gerard Jager

Gerard Jager — Sun, 30 May 2010 12:21:51 +0000

@Neli: Dit is inductie. De opmerking over K+3 heb ik als triviaal weggelaten.

Door: Gerard Jager

Gerard Jager — Sun, 30 May 2010 12:20:13 +0000

@P: Ja. In de praktijk test je op de som om zo van het getal te weten.