Van Ceulen moest het waarschijnlijk doen zonder cosinussen en sinussen. Hij kon wel worteltrekken, want er bestaat een op merkwaardige producten gebaseerd algoritme om te worteltrekken via een soort van staartdeling.
Hij kon ook afleiden dat de lengte van de zijde van de n-hoek buiten om de cirkel kon worden afgeleid van de lengte van de zijde die precies in de cirkel past. Hij kon ook afleiden dat de lengte van de zijden van 2n-hoeken om de cirkel en binnenin de cirkel daar weer vanaf te leiden waren. Om deze redenen zou ik als ik van Ceulen was het aantal hoeken een macht van twee kiezen.

Op die manier kun je afleiden dat verdubbeling van het aantal hoeken (van n naar 2n) leidt tot een vernauwing van de speelruimte voor de waarde van pi met 0.75*pi^3*n^-2 +O(n^-4). (Reken ajb na, ik kan een rekenfout gemaakt hebben. Gebruik hierbij x(n) lengte van de zijde van een n-hoek binnen de cirkel, y(n) = x(n) / (1 - x(n)^2) lengte van de zijde van een n-hoek buitenom de cirkel, x(2n) = x(n) / (2 * (1 - x(n)^2)^0.5), y(2n) = 2 * x(n) * (1 - x(n)^2)^0.5 / (4 - 5 * x(n)^2)), (n >= 8))

Om pi tot op 35 decimalen nauwkeurig te kunnen geven moet 0.75*pi^3*n^-2 < 10^-35 en n > 0.75*pi^3*10^35. Omdat op deze manier geredeneerd het aantal hoeken een macht van 2 is kom ik erop uit dat die macht meer dan 60 geweest moet zijn, ofwel van Ceulen had uiteindelijk een veelhoek met meer dan 2^60 hoeken nodig en dan kom je op 2^61 hoeken uit, eventuele rekenfouten voorbehouden.
Om dat allemaal met de hand te doen lijkt mij toch wel een redelijk monnikenwerk.

NB het wortel algoritme
Bereken bijvoorbeeld de wortel uit 123456789.
Werkwijze: ga vanaf de denkbeeldige decimale punt/komma met stapjes van 2 naar links totdat je een getal met max 2 posities overhoudt. Bij dit voorbeeld wordt dat 1. Bedenk een kwadraat dat kleiner of gelijk hieraan is, en schrijf de wortel als eerste cijfer van het antwoord.
Trek het kwadraat af van de geselecteerde cijfers. Net als bij een staartdeling wordt het verschil aangevuld met de volgende twee decimalen van het originele getal je nieuwe uitgangsgetal. Let op, want nu gaat het anders dan bij de staartdeling. Zoek nu naar (2 keer de voorlopige uitkomst plus nog een cijfer) maal dat zelfde cijfer. De grootste waarde voor het cijfer waarbij deze vermenigvuldiging nog kleiner of gelijk is aan het uitgangsgetal wordt de volgende decimaal van de uitkomst. Trek het resultaat van de vermenigvuldiging af van het uitgangsgetal. Samen met de twee volgende decimalen wordt dit je nieuwe uitgangsgetal.
Herhaal tot uit den treure.

Het resultaat wordt dan:

/123456789\11111,1
1
-
23 zoek naar 2. * ., dit gaat met max 1: 21*1=21
21
--
245 zoek naar 22. * ., dit gaat met max 1: 221*1=221
221
---
2467 zoek naar 222. * ., dit gaat met max 1
2221
----
24689 zoek naar 2222. * ., dit gaat weer max 1
22221
-----
246800 zoek naar 22222. * ., dit gaat max 1
222221
------
2457900 etc....

In feite begin je met a*a, en zoek je steeds een b zodat (2a + b)b = 2ab + b^2 de rest van het merkwaardig product (a+b)^2 vormt.

In html kunnen de spaties verloren gaan waardoor het voorbeeld enigszins verloren lijkt.