De optimale strategie blijkt wat ingewikkelder dan ik dacht, maar hier is 'ie.

SPOILERWAARSCHUWING!!!
Ik heb geprobeerd de spoiler-plugin te gebruiken, maar de leesbaarheid laat wat te wensen over. Zo moet je de muis apart over elke paragraaf houden en kan je maar 1 paragraaf tegelijk lezen. Daarom nu een oplossing zonder balkjes. Ik laat trouwens nog wel wat te puzzelen over. En wie weet heeft er iemand een mooier bewijs dan ik. Zo ben ik wel benieuwd naar de oplossing in het boek.

De strategie: maak eerst een rondje met telkens 1 gast en 3 lege stoelen. Daarna een tweede ronde met naast elke gast die in de eerste ronde geplaatst is, een nieuwe gast. Nu blijft een kwart van de stoelen over, en worden de laatste gasten verdeeld.

Ga je als gast tijdens de laatste ronde zitten, dan is er een kans van 3/4 dat het servet aan je linkerkant door je linkerbuur gepakt is. Er is namelijk een kans van 1/2 dat de eerste-ronde-gast twee plaatsen links van je naar rechts greep en een kans van 1/4 dat hij naar links greep, maar je directe linkerbuur naar rechts.
Omdat je aan elke kant een kans van 3/4 hebt dat je servet weg is, heb je een kans van (3/4)^2=9/16 dat je de avond zonder servet moet doorbrengen.
Dit verhaal geldt voor een kwart van de 48 gasten, dus de verwachtingswaarde van het aantal gasten zonder servet is 12*9/16=27/4.

Maar waarom is dit optimaal? Noem een gast een Leider als hij geplaatst wordt tussen twee lege stoelen en een Laatste als hij geplaatst wordt tussen twee reeds geplaatste gasten. Voor elke Laatste is de kans dat hij zonder servet komt te zitten gelijk aan

Bijvoorbeeld, in een Groep met hebben gemiddeld 9 op de 64 gasten geen servet. Nu kun je laten zien dat voor alle positieve gehele getallen a en b het getal kleiner dan 9/64 is, behalve voor . Bijvoorbeeld door een tabel te maken voor alle a en b van 1 tot en met 6 en door op te merken dat, als of groter is dan 6, dan geldt
.

Conclusie: als er alleen Groepen zijn met , zoals in bovenstaande strategie, dan heeft gemiddeld 9/64 deel van de gasten geen servet. Als er niet alleen Groepen zijn met , dan heeft gemiddeld minder dan 9/64 deel van de gasten geen servet. Dus de bovenstaande strategie is optimaal voor de gemene gastheer.

Dit argument werkt alleen als het aantal gasten deelbaar door 4 is en tenminste 8 is (zoals 48). Met andere aantallen gasten is een aantal uitzonderingsregels en wat meer rekenwerk nodig.

Resultaten met 10 personen aan tafel:
open plekken tussen de gasten - gemiddeld aantal zonder servet
0 - 0,5
1 - 1,25
2 - 1,19
3 - 1,25
4 - 0,94

Maar aangezien 10 niet deelbaar is door 3 ook een test voor 9 mensen aan tafel
0 - 0,50
1 - 1,12
2 - 1,13
3 - 0,90

Marco, al meer tijd?

Goed dan!
Aangezien je minstens 2 mensen nodig hebt om voor een 3e persoon de servetten weg te nemen is het maximum wat toevallig zonder servet zou kunnen zitten 1/3 van het gezelschap. Ik denk dus dat er groepen van 3 gemaakt moeten worden. De gastheer moet dan om de 3 stoelen iemand neerzetten, 1 bezet, 2 leeg. In 1 rondje dus 16 wiskundigen. Dan zet hij de overgebleven plekken gewoon vol. Ik kan het alleen niet bewijzen of verder verklaren, maar in mijn probeersels lijkt dit het meest "evil".

Jammer trouwens dat het antwoord niet na een week of wat ook op de site staat...

Ha, weer geslaagd voor de spamfiltertoets!

De kans is het grootst dat je geen servet kunt pakken als je al 2 mensen naast je hebt, dus moet je 1 man neerzetten en dan 1 overslaan, 1 neerzetten etc. Tenminste, dat is mijn 1e gedachte...
Ik kom er op terug... ;)

Het is dus maximaal 1 persoon zonder servet, hoe groot de tafel ook is..?