Door: Arno van Asseldonk

Arno van Asseldonk — Wed, 30 Jan 2008 18:16:17 +0000

@Johan P: Het gaat hier om een toespeling op het bewijs van de wiskundige Georg Cantor dat het aantal reële getallen groter is dan het aantal natuurlijke getallen. Stel dat we een verzameling hebben die een oneindig aantal elementen heeft, en stel dat we aan ieder element van die verzameling een natuurlijk getal kunnen toekennen, zodat bij ieder element precies 1 natuurlijk getal hoort en omgekeerd. Als dat lukt heeft deze verzameling evenveel elementen als de verzameling natuurlijke getallen. Zo'n verzameling wordt dan aftelbaar genoemd. Een verzameling die meer elementen bevat dan de natuurlijke getallen wordt overaftelbaar genoemd. De verzameling reële getallen is zo'n overaftelbare verzameling, en Cantor wist dit aan te tonen met wat we het diagonaalargument van Cantor noemen.
Cantors bewijs verloopt als volgt: ga uit van de reële getallen tussen 0 en 1 en veronderstel dat bij ieder reëel getal tussen 0 en 1 precies 1 natuurlijk getal hoort en omgekeerd.
We krijgen dan bijvoorbeeld iets als
1 - 0,23958239052222...
2 - 0,12345678901234...
3 - 0,00000000000120...
4 - 0,50000000000000...
5 - 0,14159265358979...
6 - 0,23562877077729...
.
.
.
We doen nu het volgende: we nemen van het reële getal dat bij 1 hoort de eerste decimaal, van het reële getal dat bij 2 hoort de tweede decimaal, van het reële getal dat bij 3 hoort de derde decimaal, enzovoort. We krijgen zo een getal 0,2230098...
We maken nu van dit reële getal een ander reëel getal door 9 te vervangen door 0 en de overige cijfers door het opvolgende cijfer te vervangen. Dit geeft het getal 0,3341109...
Nu blijkt dat de eerste decimaal van dit getal afwijkt van de eerste decimaal van het getal dat bij 1 hoort, de tweede decimaal van dit getal wijkt af van de tweede decimaal van het getal dat bij 2 hoort, de derde decimaal van dit getal wijkt af van de derde decimaal van het getal dat bij 3 hoort, enzovoort. We hebben dus een reëel getal gekregen wat niet in onze oorspronkelijke rij reële getallen voorkomt. Naast de reële getallen waarbij bij ieder getal precies 1 natuurlijk getal hoort en omgekeerd zijn er blijkbaar reële getallen waarbij zo'n koppeling ontbreekt. Dit betekent dat de verzameling reële getallen overaftelbaar is.

Door: Johan P

Johan P — Tue, 29 Jan 2008 20:14:02 +0000

hij is zo flauw dat ik 'm zelfs niet begrijp :-(

Door: Koen Vervloesem

Koen Vervloesem — Tue, 29 Jan 2008 15:14:31 +0000

Ik had hem al gezien op UserFriendly, maar ik vond hem ook flauw :-)

Door: Proeme

Proeme — Tue, 29 Jan 2008 12:13:26 +0000

hij is flauw

Reacties op: Ik kan bewijzen dat dit grappig is.

Door: Arno van Asseldonk

Door: Johan P

Door: Koen Vervloesem

Door: Proeme