De vraag waar het in dit boek om draait is: is er verschil in zekerheid tussen wiskunde en religie? Is wiskunde niet ook “gewoon” een geloof? Door die vraag kom je automatisch terecht bij de basis van wiskunde en religie: de axioma’s, respectievelijk leerstellingen.

De wiskundige hoofdpersoon begrijpt in het begin niet dat een axioma toch echt ook een aanname is. Hoe simpel ogend, hoe voor de hand liggend ook, een axioma is een aanname. Er kan niet bewezen woorden dat een aanname waar is, want zodra dat kan is het geen aanname. Dat is tenminste de/mijn definitie. Toch zullen er altijd aannames overblijven. Want stel dat iemand met een bewijs voor een aanname komt (en dat zou kunnen), dan kun je altijd vragen waarom dat bewijs waar is. En volgt daarvan een bewijs (en dat kan waar zijn), dan kun je daarvan weer een bewijs vragen, enz. Maar uiteindelijk kom je bij een aanname uit. Kleine kinderen mogen met graagte deze “waarom? waarom? ...? keten afgaan. En ouders eindigen vaak met “Daarom, het is gewoon zo!” Dat is het ouder-axioma.

Bepalend voor wat de wiskunde oplevert is de keuze van axioma’s. Vroeger werd daarvoor de inspiratie geput uit de realiteit (Euclides: punten lijnen, ...), en dat leidde tot op de realiteit toepasbare wiskunde. Daarmee kun je bijvoorbeeld oppervlaktes van voetbalvelden uitrekenen, om maar iets te noemen. Maar er worden ook wel minder realistische axioma’s gebruikt, bijv. het keuze-axioma. Daarover is in het verleden veel discussie geweest - totdat bleek dat velen het zonder te weten al vaak gebruikten in bewijzen. Dat axioma leidt tot resultaten die misschien wel nooit toepasbaar zijn. Dan wordt wiskunde een spel met regels dat alleen maar tot interessante wiskunde hoeft te leiden: wiskunde om de wiskunde dus. Dat soort wiskunde kun je denken als iets dat alleen in mensenhoofden zit, zonder (opzettelijke) verbinding met de werkelijkheid. Het gaat op Sudoku lijken: een paar spelregels dat velen uren plezier verschaft. Maar je kunt het ook tijdverdrijf noemen. En tijd is niet onbeperkt beschikbaar... Natuurlijk, “wiskunde om de wiskunde” kan nuttige toepassingen voeden, nu en in de toekomst. Maar pas op: het feit dat vroeger ongebruikte wiskunde later toepassingen kreeg garandeert niet dat het altijd zo gaat. Net zomin als dat een onbegrepen van Gogh die postuum vereerd wordt garandeert dat elke nu onbegrepen schilder postuum beroemd wordt.

Dat in de 20e eeuw veel aandacht is geweest voor (de consistentie van) axiomatische systemen is nuttig geweest voor het begrip van “wat waar is”, ook buiten de wiskunde. Zo liet Russell met zijn paradox (schijnbare tegenstelling) zien dat een bepaald deel van de wiskunde niet consistent was, door blijkbaar een onjuiste keuze van axioma’s. Dit heeft voor mij een parallel met de werkelijkheid. Er zijn mensen die volgens een erg strikt, voor hen waar systeem van regels (“axioma’s”) leven, erin geloven, en daardoor niet gelukkig zijn. Door met een geschikt gekozen paradox hun systeem in feite op te blazen kunnen ze hier soms uit breken. Het wordt ook wel toegepast bij mensen die niet kunnen slapen, omdat ze de hele tijd proberen in slaap te vallen. Een therapeut gebiedt ze dan: “Blijf wakker!” En dan vallen ze juist in slaap. Gelukkig maar.

Ik vraag me trouwens af of het feit dat wiskundigen vaak het productiefst zijn op jonge leeftijd te maken heeft met dat ze nog niet zo vast zitten aan min of meer vaststaande zaken, zoals axioma’s. Ofwel, minder vastgeroest zijn. Als je vaak aan iets denkt (gedacht hebt) zal het ook sneller je gedachten weer te binnen schieten. Het is moeilijk niet aan bananen te denken als iemand zegt “Denk niet aan bananen”.

Een mooie term uit het boek vond ik “mathematical certainty”, “wiskundige zekerheid”. Dat sluit aan bij mijn idee dat het verwarrend is dat wiskundige begrippen (zoals “groep”) vaak bestaande Nederlandse woorden zijn. “Wiskundige zekerheid” benadrukt dat deze binnen de wiskunde geldt (op bepaalde duidelijk geformuleerde axioma’s berust), en niet per se daarbuiten.

Tenslotte nog over de kwestie wiskunde versus geloof (religie). Het feit blijft dat beide gebaseerd zijn op aannamen. Ben je wiskundige (dit geldt waarschijnlijk nog algemener: exact ingesteld) dan zul je eerder de wiskundige axioma’s als waar accepteren dan de religieuze (de tijdgeest zal ook een rol spelen). Om beide typen te accepteren kun je bedenken dat wiskundige axioma’s op heel andere zaken betrekking hebben dan religeuzie. Dus daardoor hoeven ze elkaar niet te “bijten”. Dan kom je uit op een soort scheiding tussen “natuurlijk” en “bovennatuurlijk”. Maar daar heeft de moderne (zuivere, dus niet toegepaste) wiskunde weer niet zo’n sterke zaak: we hebben al gezien dat “wiskunde om de wiskunde” alleen in mensenhoofden zit, en niet te maken hoeft te hebben met iets daarbuiten. Je kunt wel stellen dat natuurkundigen het bovennatuurlijke (= onbegrepene, onbeschrevene) tot het domein van de natuurkunde proberen te promoveren (sommigen zullen dit demoveren noemen).

Als de lol van het wiskunde bedrijven je genoeg is, of als je plezier beleeft aan je geloof dan is het ook niet erg belangrijk hoe waar dat is wat je aanneemt. Vooral niet omdat “hoe waar” niet te bepalen is. Je kunt er alleen al meerdere definities voor bedenken...