Reacties op: Hekjesdenken

Door: Ionica

Ionica — Thu, 02 Aug 2007 14:53:22 +0000

Inmiddels is de oplossing al geplaatst bij IBM:
http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/solutions/July2007.html
Het is inderdaad dezelfde!

En (nog interessanter) er staat een nieuw probleem:

Define f(0)=1 and f(n) to be the number of different ways n can be expressed as a sum of integer powers of 2 using each power no more than twice.
For example, f(10)=5 since there are five different ways to express 10: 1+1+8, 1+1+4+4, 1+1+2+2+4, 2+4+4 and 2+8.
Describe, in a single sentence, the sequence {f(n)/f(n-1)} for positive integer n-s.
Show your proof to this sentence.

Door: Marco

Marco — Thu, 02 Aug 2007 14:46:13 +0000

Heeft iemand zijn oplossing al naar IBM gestuurd? Als jouw naam in de lijst komt weet je dat niemand een betere oplossing heeft.

Door: Matthijs Coster

Matthijs Coster — Wed, 25 Jul 2007 04:27:29 +0000

Toevallig lees ik momenteel "the Colossal book of short puzzles and problems" (p. 461), waarin honderden puzzels van Martin Gardner worden beschreven. Een van de puzzels gaat over een "opaque square". De bovengenoemde oplossing wordt eveneens beschreven. Als je op "opaque square" googlet kom je ook diverse oplossingen tegen. Ook kom je de "opaque cube" tegen. Dat is eigenlijk leuker om eens eerst zelf over na te denken.

Door: Thijs

Thijs — Tue, 24 Jul 2007 10:27:06 +0000

Maarten, wat je zoekt heb ik gister gevonden. Namelijk het Fermat point, de optimale S om de lijnstukken te verbinden, en zolang geen van de hoeken van de driehoek >120 graden is, maken de drie 'hekjes' een onderlinge hoek van 120 graden. Ik zou trouwens niet weten waarom die hoek van n*60 graden ook geldig zou moeten zijn voor lijnen die 'niets met elkaar te maken hebben', dwz, elkaar niet snijden.

Door: Henkie

Henkie — Mon, 23 Jul 2007 09:55:40 +0000

ik begrijp die oplossing niet, Maarten. Als je slechts 3 hoekpunten verbindt, dan is aan de opgave toch nog niet voldaan? Ik interpreteer je oplossing waarschijnlijk niet juist. Kan je anders eens een afbeelding van die oplossing tonen? Ik ben benieuwd

Door: Maarten

Maarten — Mon, 23 Jul 2007 07:46:44 +0000

@Thijs Nou, als ik het kon bewijzen dan deed ik dat wel ;-) Maar ik heb er wel een idee bij. Stel dat je drie lijnstukken hebt, van punten P1, P2 en P3 naar een punt S, zodanig dat de onderlinge hoeken niet allemaal 120 graden zijn. Dan kan je S een beetje verschuiven zodat |P1 - S| + |P2 - S| + |P3 - S| kleiner wordt. Kijkend naar de oplossing van Sander en Johan denk ik dat iets dergelijks ook geldt voor lijnen die niet snijden.

Door: Thijs

Thijs — Sun, 22 Jul 2007 21:47:35 +0000

Maarten, vanwaar substelling 2? Komt dat uit symmetrieoverwegingen over een ander argument?

Door: Maarten

Maarten — Sat, 21 Jul 2007 19:07:13 +0000

@ Sander en Johan
Met 2,6389 wordt hoogstwaarschijnlijk
sqrt (2) + sqrt (3/2) bedoeld. In de bijbehorende oplossing is het punt (x,x) verbonden met drie hoekpunten, waarbij
2 x = 1 - 3^(-1/2). Ik ben er inmiddels wel van overtuigd dat dat optimaal is. Heeft iemand al een bewijs? Een opzetje:
1) een minimale oplossing bestaat uit lijnstukken
2) de hoeken die de lijnstukken in een minimale oplossing maken zijn allemaal veelvouden van 60 graden, ook als de lijnstukken elkaar niet snijden
3) onder voorwaarden 1) en 2) zijn er slechts een paar lokaal minimale oplossingen, modulo symmetrie
4) bereken de lengten voor deze gevallen
Overigens lijken 1) - 3) me niet zo simpel, dus ik laat het graag aan iemand anders over om dit hard te maken ;-)

Door: anonieme valsspeler

anonieme valsspeler — Fri, 20 Jul 2007 21:32:42 +0000

Werkt het als je in het midden een grote + neerzet en dan verder het cartesisch produkt erbij doet van twee Cantorverzamelingen? Zal wel niet...

Een variant op Banach-Tarski misschien?

Door: Sander

Sander — Fri, 20 Jul 2007 17:37:01 +0000

@Maarten: Die had ik ook voor m'n samenhangende oplossing. Het is de Steiner tree van de vier hoekpunten.