Reacties op: Reken mee met abc! (3)

Door: Marcel

Marcel — Thu, 12 Apr 2007 13:16:50 +0000

...wat verder denken doet me vermoeden dat het antwoord op mijn vraag "is er een n waarvoor..." hierboven waarschijnlijk "nee" is. Reden voor dat vermoeden: de kans dat een willekeurig geheel getal N een kwadraat is is grofweg N^{-1/2}. De kans dat het een derde macht is is grofweg N^{-2/3}. De kans dat het een m-de macht is is grofweg N^{-(m-1}/m}. (Het bewijs is een opgave voor de enthousiaste lezer . :-) ) De kans dat een willekeurig getal N te schrijven is als 2^p 3^q is grofweg log N / N. (Wederom: bewijs zelf. Hint: tel het aantal getallen van die vorm tussen N en 2N.) Voor grote N neemt die kans dus sneller af dan de kans dat N een m-de macht is, voor alle m. De dichtheid van getallen van de vorm 2^p 3^q wordt dus uiteindelijk kleiner dan de dichtheid van m-de machten, voor elke m. Aannemende dat je voor groter wordende m een steeds groter wordend aantal termen nodig hebt om een getal the schrijven als som van m-de machten (dit staat bekend als "Waring's problem") kun je dus vermoeden dat een gegeven eindig aantal termen uiteindelijk niet meer voldoende is om een getal te schrijven als som van termen van de vorm 2^p 3^q. Dat is natuurlijk nog geen bewijs, en het zegt al helemaal niets over mijn oorspronkelijke vraag, maar ik kon het toch niet laten het op te schrijven... :-)

Door: Marcel

Marcel — Thu, 12 Apr 2007 12:32:09 +0000

@Matthijs: Leuk! Je komt inderdaad alleen met machten van 2 en 3 dan al een heel eind - bijvoorbeeld ook

729 = 512 + 216 + 1

met kwaliteit 3.68. Waarmee de vraag natuurlijk rijst: is er in zo'n geval wel een bovengrens, of kun je op deze manier altijd viertallen van hogere kwaliteit vinden? En als er voor viertallen nog wel een bovengrens is, is die er dan ook voor vijf-, zes-, enzovoort-tallen?

(Het doet wat denken aan: elk geheel getal is te schrijven als de som van vier kwadraten. Is er een n waarvoor elk geheel getal te schrijven als de som van n getallen van de vorm 2^p 3^q?)

Een wiskundige kan meer vragen dan duizend koppen koffie kunnen beantwoorden...

Door: Matthijs Coster

Matthijs Coster — Wed, 11 Apr 2007 05:19:49 +0000

@Marcel: Kies een goed (a,b,c)-triple (dus a+b=c), dan heb ik 2 viertallen:

a^2+ac+bc = c^2 en

b^2+bc+ac = c^2.

Je moet de ondergrens voor de kwaliteit brengen naar 2.
Inmiddels vond ik 2 dergelijke viertallen met kwaliteit groter dan 3:

25 + 1000 = 1 + 1024 en

1 + 12 + 243 = 256

Voor de andere vermoedens die je noemt abcd(efgh...) gelden vergelijkbare opmerkingen.

Door: Marcel

Marcel — Thu, 05 Apr 2007 13:18:20 +0000

@Matthijs: Waarom zou je in dat geval eisen dat alle getallen oneven zijn? Het lijkt me logischer om te eisen dat gcd(a,b,c,d)=1.

Mooie oplossing in dat geval: 36+64+243=343.

Ik ben inderdaad ook wel benieuwd naar abcd(efgh...)-vermoedens; zijn die op de een of andere manier te reduceren tot het abc-vermoeden?

Door: Johan

Johan — Thu, 05 Apr 2007 08:31:21 +0000

@Matthijs: Als ik me niet vergis heeft Nils Bruin daar ooit wat mee gedaan. Dus je zou het aan hem kunnen vragen. :).

Door: Tammo Jan

Tammo Jan — Thu, 05 Apr 2007 07:57:01 +0000

Voor wie het nieuwe drietal met de hand wil narekenen:
a=2^47*97,
b=5^5*7^8*89*739^2
c=3^17*11^6*13^2*23

Dus r=2*3*5*7*11*13*23*89*97*739=4.406.455.083.030.

Log r is ongeveer 12 (r is een vier met twaalf nullen) en log c is ongeveer 17 (c is een 8 met zeventien nullen). Dus de kwaliteit is ongeveer 17/12=1,42

Door: HJ

HJ — Wed, 04 Apr 2007 23:03:11 +0000

Sinds wanneer krijgt de 120ste plaats een uitroepteken?

Door: Matthijs Coster

Matthijs Coster — Wed, 04 Apr 2007 20:53:58 +0000

In plaats van het abc-vermoeden zou ook het abcd-vermoeden kunnen worden geformuleerd. a+b+c+d=0, waarbij a,b,c en d onderling ondeelbaar zijn en 1 <= |a| <= |b| <= |c| <= |d| en de kwaliteit q = log(|d|)/log(r(a,b,c,d)). Aangezien a,b,c en d oneven moeten zijn is het niet onwaarschijnlijk dat er veel minder oplossingen zijn. Ik vond er (uit het hoofd) drie: 1+1+25 = 27 1+1+243 = 245 2187+11 = 2197+1 Is er over dit vermoeden iets bekend?