Als de cijfers elk eenmaal worden gebruikt, dan heb je te maken met Friedmangetallen (zie bijvoorbeeld A036057, OEIS). Als je geen speciale truc toepast, maar louter de operaties +,-,x en : toepast, dan zal het resultaat van de som altijd kleiner zijn dan het oorspronkelijke getal (m.u.v. de getallen 1 t/m 9).

Als elk getal maar 1 maal gebruikt mag worden, dan zijn er geloof ik maar eindig veel mogelijkheden. Wanneer echter machtsverheffen wordt toegestaan, is het denk ik niet zo heel moeilijk om te laten zien dat er oneindig veel zijn, waarschijnlijk van de vorm 2^iets of 3^iets.

Wat ik even niet inzie is hoe nu direct volgt dat het aangepaste product minstens t^k moet zijn. Is het evident dat het aangepaste product het grootst mogelijke getal is dat gemaakt kan worden? (Zo ja, dan is het mij duidelijk)

Over het probleem in basis 2 of 3 heb ik me al enige tijd niet meer ontfermd. Maar dat betekent niet dat ik stil heb gezeten. Nee, ik heb een oneindige rij 10-tallige oplossingen gemaakt, met een andere structuur dan de reeds bekende rijen.

De rijen tot nu toe zijn allemaal getallen die (plaatselijk) een periodieke stuctuur hebben: 55555555555 of 454545454545, het idee is duidelijk. Eventueel kan er met een kleine aanpassing nog iets veranderd worden aan de staart, maar daar houdt het dan ook wel op.

Wat ik jullie nu wil tonen is een lijst getallen die niet periodiek zijn, hoewel ze nog steeds tamelijk regelmatig zijn. Dat is ook wel logisch, we willen immers iets kunnen zeggen over hoeveel we van elk cijfer hebben. De getallen waar het om gaat zijn
001002003004...998999
0001000200030004...9998999
00001000020000300004...9999899999
enz. (de nullen aan het begin alleen voor de duidelijkheid van het patroon).

We baseren het idee op de volgende gelijkheid van rationale functies:
((x^(n+1)-1) / (x-1) - (n+1))/(x-1)
is gelijk aan
1 x^(n-1) + 2 x^(n-2) + ... + (n-1) x + n.
Vullen we nu x=1000 en n = 999 in dan zien we dat
((1000^1000 - 1) / 999 - 1000)/999
gelijk is aan het eerste getal in de rij:
001002003...998999.
Voor het tweede getal nemen we x=10000 en n = 9999,
enz.

Nu tellen we het aantal 1'en, 2'en enz. Voor x=10^k
hebben we stukjes met elk precies k cijfers. Het aantal
van deze stukjes waarvan het eerste cijfer een 1 is,
is 10^(k-1) (het aantal mogelijkheden voor de andere cijfers). Idem voor elke andere plaats waar we een 1 kunnen vinden. In totaal komen er dus k * 10^(k-1)
enen voor. Voor elk van de andere cijfers gaat dezelfde redenering op.

In de beknopte representatie van het getal is de term
x^(n+1) = (10^k)^(10^k) = 10^(k * 10^k) degene die het hardst groeit als k groeit. De grote uitdaging bij het aantonen dat deze getallen werken is dus het scrijven
van 10^(k * 10^k), met 2 * k * 10^(k-1) exemplaren van de cijfers 1 t/m 9 tot onze beschikking. Dit dan wel op zo'n manier dat er ook nog voldoende cijfertjes over zijn voor drie 10^k's en een stelletje 1-en.

Teneinde dit te doen, proberen we 10^50 te schrijven met behulp van 10 exemplaren van elk cijfer 1 t/m 9, op zo'n manier dat er een cijfer overblijft. Dat viel niet mee. Maar na enig programmeren (nuttig programmatje overigens, mochten er geintresseerden zijn) en een paar uurtjes rekentijd, kwam mijn computer met
10^50 =
(4*5*8)^10 *( -7 + 2*2*2 *( -2 + 3*9 *( -7 + 3*6*6 *( -2 + 3*9 *( -1 + 2*2*2 *( -2 + 3*7*7 *( -1 + 9 *( -1 + 2*9 *( -3 + 7*7 *( -1 + 9*9 *( -1 + 7 *( -1 + 9*9*9 *( -3 + 7*6 *( -3 + 7 *( -1 + 6 *( -1 + 3*6*6 *( -6 + 7 *( -1 + 3*6*6 *( -1 + 3*9)))))))))))))))))))
op de proppen. Hierbij zijn alle cijfertjes op een na gebruikt: er is een 6 over.

Schrijven we nu 10^(k * 10^k) als
(10^50)(2 * k * 10^(k-2)), dan zien we dat we dit grote
getal precies kunnen maken en dat er uiteindelijk nog
2 * k * 10^(k-2) zessen over zijn. Beginnend bij k=3 (het eerste getal dat ik hierboven claimde), zien we dat er voldoende getallen 6-en zijn om drie keer een 1=(6/6) te maken en drie kaar een 10^k = (6 + 6 - (6 + 6)/6)^k te maken. Hiervoor zijn in totaal 6 + 5k 6-en nodig. De resterende zessen moeten nog even worden weggewerkt door herhaald optellen van (6-6) of iets dergelijks.

Sorry voor de ontzettend lange comment; ik hoop dat het een beetje duidelijk is.

Ik ben er achter gekomen dat de truc zoals beschreven door Arjen en Albert opgaat voor elk t-tallig stelsel, voor t >= 4. Als $a_1\dots a_k$ repeteert, dan moet $t^k$ geschreven kunnen worden met $a_1, a_1, \dots, a_k, a_k$, waarbij minimaal \'e\'en $a_i$ niet wordt gebruikt. Het ``aangepaste" product van de cijfers $a_i$ moet derhalve groter zijn dan $t^k$.

Daarom is het des te interessanter om te bewijzen dat het aantal Coster--3--getallen oneindig is.

Zo zie je maar weer...

(het blijft natuurlijk speculeren of die indiase wiskundigen ook naar Costergetallen zochten toen ze dit ontdekte, maar toch)