Jammer genoeg ben ik 9 september niet in Delft. Niet alleen omdat ik nu in Leiden woon, maar ook omdat ik die dag naar de inauguratie van Mark Peletier in Eindhoven ga.

Je verhaal over de stelling van Artin is reuze-interessant. Ik geloof dat ik de details nog niet helemaal begrijp, maar dat kan komen omdat ik niet weet wat echt uitdelen naar de SL(2,Z)-actie inhoudt. Toch kan ik me er wel iets bij voorstellen, want het lijkt een beetje op iets wat gebeurt in het
gewone vlak.

Pak er even een vel met ruitjes van 1 bij 1 centimeter bij en teken vanaf een hoekpunt linksonder een lijn met een irrationale helling alfa (in het gewone vlak gebruiken we liever alfa dan beta). Deze lijn gaat nu nooit meer door een ander roosterpunt en blijft steeds horizontale en verticale roosterlijnen snijden. Je kunt deze rij snijpunten noteren als VVHVVVHVVVVH... Waarbij H vanzelfsprekend staat voor een snijpunt met een horizontale lijn en V voor een \'verticaal\' snijpunt.

Dit rijtje heeft ook allerlei supergave eigenschappen, het is bijvoorbeeld een Sturmse rij. Maar (je raadt het al) je kan ook de kettingbreukbenadering van alfa eruit halen! Ongeveer op dezelfde manier als die jij beschrijft, maar ik herinner me de details niet op dit moment. Ik heb er wel eens een praatje over gegeven, zal ik de aantekeningen eens opzoeken? Of wist je dit allemaal al?

dat klinkt goed! De eerst volgende volle maan is op woensdag 9 augustus volgens het internet, maar zoals we allemaal weten betekent dat dat het op 9 september weer volle maan is. En toevallig ben ik dan in Delft om piano te spelen dus misschien kun jij me dan alle geheimen van die mooie stad laten zien?

Ik ben trouwens dat meisje nog een keer tegengekomen (toen het hele kasteel al was leeggelopen en iedereen in de warme trein naar zijn of haar huis zat, bleek dat alleen zij en ik nog over waren. Maar niet voor lang want ook onze treinen stonden klaar om onherroepelijk in tegengestelde richtingen weg te rijden op weg naar de eeuwigheid...) Het leuke was dat ze dit keer pen en papier bij zich had en iets duidelijker kon vertellen wat de stelling van Artin is. Het is ongelooflijk!

Kies je favoriete fundamentaalgebiedje in het bekende bovenhalfvlakplaatje met die bogen en lijntjes. Kies een punt op de muur en laat er een geodeet uit ontspruiten. Voor de grap kijken we eerst even wat er gebeurt als niemand hem tegenhoudt. Als het goed is komt hij na precies oneindig veel tijd ergens op de reele as terecht in een punt dat we beta noemen.

Maar nu!

Stel we zeggen dat we helemaal geen bovenhalfvlak hebben, maar dat we echt hebben uitgedeeld naar de SL(2,Z)-actie, dan betekent dat dat wanneer onze jonge geodeet het fundamentaalgebied uitloopt hij floep ergens anders weer op de muur begint en vrolijk verder loopt tot dat hij bij een andere muur komt en floep daar wordt hij weer terug in de tijd gewarpt. Wat een leven...

Dit gaat eeuwig zo door, als in een slechte tekenfilm, en telkens heeft hij twee mogelijkheden om (te proberen) uit het fundamentaalgebied te ontsnappen: aan de onderkant O of aan de zijkant Z. Als we bijhouden wat hij kiest krijgen we een rijtje OOZZZZOZZOOZZZZZ etc, wat we iets sneller kunnen samenvatten met een rijtje getallen: 2,4,1,2,2,5 etc in dit geval, ik heb me ooit laten vertellen dat dit ook in een mp3 speler gebeurt. Hoe dan ook, het wonder is: dit rijtje getallen is precies de kettingbreukexpansie van beta!!! Ongelooflijk niet waar? Nou ja, misschien vind jij het volkomen vanzelfsprekend, maar voor mij kwam het nogal uit de lucht vallen. Als je me meer kunt vertellen over waarom dit waar is (of een ander sappig verhaal over kettingbreuken of de liefde in het algemeen) hoor ik het natuurlijk graag!

Ik ben momenteel in Duitsland en heb daar een meisje ontmoet (om het verhaal wat sappiger te maken) dat vertelde hoe Emil Artin kettingbreuken gebruikte om te laten zien dat het beeld van sommige geodeten in het hyperbolische vlak dicht komt te liggen na uitdelen naar de obvious SL(2, Z) actie. We waren in een geanimeerd gesprek, met wat duits bier en volle maan etc (om het verhaal nog sappiger te maken) hard op weg dit resultaat iets te verscherpen, maar toen, zoals dat vaak gaat met meisjes waarmee ik geanimeerde gesprekken voer bij volle maan, viel ze in slaap en daarna verdween ze op mysterieuze wijze uit mijn leven. Desondanks blijven bij iedere volle maan de geodeten door mijn hoofd spoken, dus... heb jij als kettingbreuk expert misschien ooit van deze toepassing gehoord? Misschien hebben wij meer succes....