Reacties op: Kurt Gödel en zijn onvolledigheidsstelling

Door: Kurt Gödel – In het licht van wat wij weten

Kurt Gödel – In het licht van wat wij weten — Tue, 29 Mar 2016 16:28:22 +0000

[…] Dankzij de Nederlandse wiskunde-meisjes hebben we een begrijpbare uitleg: http://www.wiskundemeisjes.nl/20060428/kurt-gdel-en-zijn-onvolledigheidsstelling/ […]

Door: JohnG1000

JohnG1000 — Sat, 26 Oct 2013 08:42:23 +0000

Wat ik me afvraag is waarom geaccepteerd wordt dat er geen causaal verband is in de eerste uitspraak. In de zin "deze uitspraak is niet waar" ontstaan het beoordeelde en de beoordeling op hetzelfde moment. Hoe kun je iets beoordelen wat er nog niet is? Als de uitspraak er eenmaal is wordt deze wel op een deductieve manier beoordeeld: als de uitspraak waar is dan dit of als de uitspraak niet waar is dan dat. In mijn beleving zit er geen "tijd" tussen de beoordeling en het beoordeelde in de eerste uitspraak.

Door: Count Iblis

Count Iblis — Sat, 06 Jul 2013 15:47:10 +0000

Er is ook een bewijs gebaseerd op de Berry paradox: "The first positive integer that cannot be specified in less than a billion words",
zie hier:

http://www.cs.auckland.ac.nz/~chaitin/unm2.html

Door: Dirkboss

Dirkboss — Thu, 04 Jul 2013 00:21:20 +0000

Je zou waar of onwaar beter moeten formuleren. Een perfect logisch consistent systeem kan onjuiste beweringen bewijzen als de aannames onjuist is. Enja wat is de waarheid binnen deze context, we bevinden ons op glad ijs hier. Inconsistentie impliceert dat er binnen het systeem een stelling x bestaat zo dat je zowel de stelling als de negatie van die stelling binnen het axiomatische systeem kan bewijzen.

Door: Wiskundemeisjes » Blog Archive » Vallende sterren (10)

Wiskundemeisjes » Blog Archive » Vallende sterren (10) — Thu, 09 Apr 2009 07:42:10 +0000

[...] Onder Hilbert werkte hij aan het axiomatiseren van de wiskunde. In diezelfde tijd bewees Gödel zijn onvolledigheidsstelling. Gentzen was eerst ongerust dat dit gevolgen had voor zijn werk, maar later schreef hij dat het [...]

Door: bjorn

bjorn — Fri, 07 Mar 2008 18:22:19 +0000

wat zijn aalle cijfers cmet 123 er mogen maar 3 getallen zijn

Door: Joop Theunissen

Joop Theunissen — Wed, 06 Feb 2008 13:11:39 +0000

Toevallig loop ik aan tegen een paar reacties op mijn opmerking dat er geen oneindige verzamelingen zijn, zoals er wel eindige verzamelingen zijn. Een opmerking: iemand gebruikt de uitdrukking Oneindig aantal elementen. Brrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
Hartelijke groetjes.
Joop Theunissen

Door: Wiskundemeisjes » Vallende sterren (1)

Wiskundemeisjes » Vallende sterren (1) — Fri, 12 Oct 2007 13:43:12 +0000

[...] wiskundige is de beroemde Kurt Gödel. We schreven al eerder over Gödel en zijn onvolledigheidsstelling en over de film die onlangs over zijn leven gemaakt [...]

Door: Arno van Asseldonk

Arno van Asseldonk — Sun, 09 Sep 2007 19:41:35 +0000

@Joop Theunissen: In de wiskunde verstaan we onder een verzameling een aantal bij elkaar genomen of gedachte objecten. Deze objecten noemen we de elementen van de desbetreffende verzameling. Het aantal elementen van een verzameling noemen we het kardinaalgetal van deze verzameling.
Als je het begrip verzameling uitsluitend in de alledaagse betekenis van het woord opvat, kan een verzameling inderdaad alleen maar eindig zijn omdat zo'n verzameling slechts een eindig aantal elementen bevat, maar als je het begrip verzameling in de strikt wiskundige betekenis van het woord opvat, dan bestaan er naast eindige verzamelingen ook oneindige verzamelingen, ofwel verzamelingen met een oneindig aantal elementen. De verzameling van de natuurlijke getallen, dus de verzameling getallen 1, 2, 3,... is in dat verband een bekend voorbeeld.
Zoals ik al aangaf noemen we aantal elementen van een verzameling het kardinaalgetal van deze verzameling. Als het aantal elementen van zo'n verzameling eindig is, zeggen we dat zo'n verzameling een finiet kardinaalgetal heeft. Zo zal een verzameling met 4 elementen het finiete kardinaalgetal 4 hebben.
Als het aantal elementen van zo'n verzameling
oneindig is, zoals bij de verzameling natuurlijke getallen, zeggen we dat zo'n verzameling een transfiniet kardinaalgetal heeft.
Als 2 verzamelingen hetzelfde kardinaalgetal hebben, en dus hetzelfde aantal elementen hebben, zeggen we dat deze verzamelingen gelijkmachtig zijn. Je kunt dan ieder element van de ene verzameling koppelen aan ieder element van de andere verzameling via een zogenaamde een-op-een-relatie.
Wanneer we naast de natuurlijke getallen ook nog het getal 0 en de negatieve gehele getallen -1, -2, -3,... erbij nemen krijgen we de verzameling gehele getallen, en als we de verzameling nemen van alle gebroken getallen, ofwel alle getallen van de vorm a/b, waarbij a en b gehele getallen zijn en b niet 0 is, dan krijgen we de verzameling rationale getallen.
Het blijkt nu dat de verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen hetzelfde aantal elementen hebben als de natuurlijke getallen. Ze zijn dus oneindige verzamelingen die gelijkmachtig zijn met de verzameling natuurlijke getallen. We noemen een oneindige verzameling die gelijkmachtig is met de verzameling natuurlijke getallen een aftelbare verzameling. De verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen zijn dus aftelbaar, zoals dat heet. Aan ieder element van een aftelbare verzameling kan dus via een een-op-een-relatie een natuurlijk getal worden gekoppeld, en omgekeerd. Wanneer het niet mogelijk is om aan ieder element van een oneindige verzameling via een een-op-een-relatie een natuurlijk getal te koppelen, en ook niet omgekeerd, noemen we zo'n oneindige verzameling een overaftelbare verzameling. Een voorbeeld van zo'n overaftelbare verzameling is de verzameling oneindige decimale breuken tussen 0 en 1. Deze verzameling is gelijkmachtig met de verzameling reële getallen. De verzameling reële getallen bevat naast de rationale getallen de irrationale getallen, ofwel de getallen die niet als een rationaal getal kunnen worden geschreven, zoals bijvoorbeeld het getal pi.
Een overaftelbare verzameling is weliswaar ook een oneidige verzameling, maar met meer elementen dan een aftelbare verzameling, dus een overaftelbare verzameling heeft meer elementen dan de verzameling natuurlijke getallen. We zien dus dat er niet alleen diverse oneindige verzamelingen bestaan, maar dat er zelfs oneindige verzamelingen met een verschillend (transfiniet) kardinaalgetal kunnen bestaan, en het blijkt zelfs dat het aantal verschillende (transfiniete) kardinaalgetallen zelf ook weer oneindig is.

Door: Marco

Marco — Sun, 09 Sep 2007 15:36:43 +0000

@Joop Theunissen: Als je onder een `verzameling' het resultaat van het woord `verzamelen' verstaat, dan zal een oneindige verzameling natuurlijk niet bestaan. Maar er is ook het wiskundige begrip `verzameling', wat een soort basisbegrip is in de wiskunde. Als voorbeelden van verzamelingen kan je dan denken aan de verzameling van alle gehele getallen. Deze verzameling bevat oneindig veel getallen.